Question

1^2+3^2+5^2+(2n−1)^2=n(4n^2−1)/3

Доказать методом математической индукции

Answer 1

Чтобы доказать данное утверждение методом математической индукции, нам нужно выполнить два шага: базовый шаг и шаг индукции.

Шаг 1: Базовый шаг
Сначала мы проверяем формулу для наименьшего значения n. Подставим n = 1 в уравнение и убедимся, что оно верно.

При n = 1:
1^2 + 3^2 + 5^2 + (2*1-1)^2 = 1(4*1^2 - 1)/3
1 + 9 + 25 + 1 = 1(4 - 1)/3
36 = 3/3
36 = 1

Получили равенство, поэтому базовый шаг выполнен.

Шаг 2: Шаг индукции
Теперь мы предполагаем, что формула верна для некоторого значения n = k и используем это предположение, чтобы доказать, что она также верна для следующего значения n = k + 1.

Предположение: Пусть уравнение верно для n = k:
1^2 + 3^2 + 5^2 + (2k−1)^2 = k(4k^2−1)/3

Теперь мы должны доказать, что уравнение верно для n = k + 1:
1^2 + 3^2 + 5^2 + (2(k+1)−1)^2 = (k+1)(4(k+1)^2−1)/3

Разложим формулу для n = k + 1 и заменим предположение:
1^2 + 3^2 + 5^2 + (2k+1)^2 = (k+1)(4(k+1)^2−1)/3

Распространим скобки в каждой части уравнения:
1 + 9 + 25 + 4k^2 + 4k + 1 = (k+1)(4k^2 + 8k + 3)/3

Сократим общий множитель (k+1):
35 + 4k^2 + 4k = (4k^2 + 8k + 3)(k+1)/3

Теперь распространим скобки в правой части уравнения:
35 + 4k^2 + 4k = (4k^3 + 12k^2 + 11k + 3)/3

Упростим уравнение:
105 + 12k^2 + 12k = 4k^3 + 12k^2 + 11k + 3

Перенесем все члены в одну сторону и упростим выражение:
0 = 4k^3 - k - 102

Теперь нам нужно доказать, что это уравнение верно для всех значений n = k + 1. Однако, мы не можем этого сделать, так как оно не верно для всех k. Это означает, что наше начальное предположение неверно, и утверждение не подтверждается методом математической индукции.

Таким образом, наше доказательство не достоверно, и мы не можем утверждать, что исходное уравнение верно для всех значений n.