Question

Даны уравнения поверхностей второго порядка в декартовой системе координат: 1) 1(x−8)2−1(y−3)2+5(z−1)2=1
2) 1(x−8)2−1(y−3)2−5(z−1)2=1
3) 1(x−8)2+1(y−3)2+5(z−1)2=1
4) 1(x−8)2+1(y−3)2=5z
5) 1(x−8)2−1(y−3)2=5z
6) 1(x−8)2+1(y−3)2=5(x−1)2
Введите номер уравнения, которoe определяет эллипсоид.

Answer 1

Для определения, какое из предложенных уравнений определяет эллипсоид, нужно знать, как выглядит уравнение эллипсоида в декартовой системе координат.

Уравнение эллипсоида в декартовой системе координат имеет следующий вид:
(x-x0)²/a² + (y-y0)²/b² + (z-z0)²/c² = 1, где (x0, y0, z0) - координаты центра эллипсоида, a, b, c - полуоси эллипсоида.

Теперь, рассмотрим каждое из предложенных уравнений и попытаемся определить, какое из них определяет эллипсоид.

1) 1(x−8)² - 1(y−3)² + 5(z−1)² = 1
Распишем скобки:
(x² - 16x + 64) - (y² - 6y + 9) + 5(z² - 2z + 1) = 1
Объединим подобные слагаемые:
x² - y² + 5z² - 16x + 6y - 10z + 64 - 9 + 5 = 1
x² - y² + 5z² - 16x + 6y - 10z + 60 = 1
Перенесем все слагаемые влево и упростим:
x² - y² + 5z² - 16x + 6y - 10z + 59 = 0

2) 1(x−8)² - 1(y−3)² - 5(z−1)² = 1
Распишем скобки:
(x² - 16x + 64) - (y² - 6y + 9) - 5(z² - 2z + 1) = 1
Объединим подобные слагаемые:
x² - y² - 5z² - 16x + 6y - 10z + 64 - 9 - 5 = 1
x² - y² - 5z² - 16x + 6y - 10z + 50 = 1
Перенесем все слагаемые влево и упростим:
x² - y² - 5z² - 16x + 6y - 10z + 49 = 0

3) 1(x−8)² + 1(y−3)² + 5(z−1)² = 1
Распишем скобки:
(x² - 16x + 64) + (y² - 6y + 9) + 5(z² - 2z + 1) = 1
Объединим подобные слагаемые:
x² + y² + 5z² - 16x - 6y - 10z + 64 + 9 + 5 = 1
x² + y² + 5z² - 16x - 6y - 10z + 78 = 1
Перенесем все слагаемые влево и упростим:
x² + y² + 5z² - 16x - 6y - 10z + 77 = 0

4) 1(x−8)² + 1(y−3)² = 5z
Данное уравнение не является уравнением эллипсоида, так как слева от знака равенства отсутствует 5z².

5) 1(x−8)² - 1(y−3)² = 5z
Данное уравнение не является уравнением эллипсоида, так как слева от знака равенства отсутствует 5z².

6) 1(x−8)² + 1(y−3)² = 5(x−1)²
Распишем скобки:
(x² - 16x + 64) + (y² - 6y + 9) = 5(x² - 2x + 1)
Объединим подобные слагаемые:
x² + y² - 16x - 6y + 73 = 5x² - 10x + 5
Перенесем все слагаемые влево и упростим:
4x² + 10x + 6y - y² - 73 - 5 = 0
4x² + 10x + 6y - y² - 78 = 0

Итак, из предложенных уравнений только уравнение номер 3: 1(x−8)² + 1(y−3)² + 5(z−1)² = 1 определяет эллипсоид.