Question

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям y(0)=y^' (0)=0
x^''-x=tht

Answer 1

Хорошо, давайте разберемся с этим дифференциальным уравнением.

Дано уравнение: x^'' - x = tht

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения

Сначала рассмотрим однородную часть уравнения: x^'' - x = 0
Это уравнение без правой части tht, поэтому его называют однородным уравнением.

Шаг 2: Характеристическое уравнение

Для решения однородного уравнения, мы должны найти корни его характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение для нашего случая будет иметь вид: r^2 - 1 = 0
Для решения этого квадратного уравнения, мы домножим обе части на -1, чтобы получить:
r^2 = 1

Шаг 3: Нахождение корней характеристического уравнения

Мы можем решить это квадратное уравнение, воспользовавшись формулой для нахождения корней:
r = ±√1

Таким образом, у нас есть два корня характеристического уравнения: r = 1 и r = -1

Шаг 4: Общее решение однородного уравнения

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
x_h(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-t), где C1 и C2 - произвольные константы

Шаг 5: Поиск частного решения

Теперь обратимся к неоднородной части уравнения: tht.
Мы ищем частное решение, поэтому предположим, что x_p(t) = At+B, где A и B - неизвестные коэффициенты.

Шаг 6: Подстановка частного решения и нахождение коэффициентов

Подставим наше предположение в исходное уравнение и решим для A и B:
(A + B) - (At + B) = tht

Упростим выражение, чтобы найти значения коэффициентов A и B:
-A*t + A + B - B = tht
-A*t + A = tht

Сравнивая левую и правую части, видим, что A = 1 и B = 0

Таким образом, частное решение будет иметь вид: x_p(t) = t

Шаг 7: Найденное решение

Теперь мы можем записать решение всего уравнения, объединив общее решение однородного уравнения и частное решение:
x(t) = x_h(t) + x_p(t)
x(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-t) + t

Вот и все! Мы нашли решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = y^'(0) = 0:
x(t) = C1 * e^t + C2 * e^(-t) + t