Question

Докажите, что p^2-1, где p-простое число больше 3, кратное 24

Answer 1

Пошаговое объяснение: ${}$Докажем более сильное утверждение: если p - нечетное число, не кратное трем, то p²-1 кратно 24.

А для этого докажем такое утверждение: произведение

                                          p³-p=(p-1)p(p+1)  

трех последовательных целых чисел, среднее из которых нечетное, кратно 24. Это утверждение следует из того, что 24=3·8, из того, что одно из трех последовательных чисел обязательно делится на 3, а также из того, что оба крайних числа четные, а одно из них даже делится на 4.

Переходим к доказательству утверждения про p²-1 =(p-1)(p+1)

при нечетном p, не делящимся на 3. Предыдущее утверждение гарантировало делимость на 24 произведения (p-1)p(p+1), но поскольку в нашем случае p не делится на 3, на три делится p-1 или p+1. Делимость на 8 также обеспечивали крайние числа.  

И, наконец, если p - простое число большее 3, оно нечетное и не делится на 3, поэтому к нему можно применить только что доказанное утверждение.