Чтобы найти производную функции z=ln(x^2+y^2), мы будем использовать градиент. Градиент функции — это вектор, который указывает направление наибольшего изменения функции в данной точке.
Сначала найдем градиент функции z=ln(x^2+y^2). Градиент в данном случае будет вектором, составленным из производных функции по каждой переменной. Для этого мы возьмем производные функции по x и y, затем соберем их в вектор.
Производная по x:
dz/dx = (2x)/(x^2+y^2)
Производная по y:
dz/dy = (2y)/(x^2+y^2)
Теперь вычислим значения производных в точке М(3,4):
dz/dx = (2*3)/(3^2+4^2) = 6/25 = 0.24
dz/dy = (2*4)/(3^2+4^2) = 8/25 = 0.32
Таким образом, градиент в точке М(3,4) будет вектором (∂z/∂x, ∂z/∂y) = (0.24, 0.32).
Теперь мы можем найти производную z=ln(x^2+y^2) в точке М(3,4) в направлении градиента z в точке М. Этот процесс осуществляется с помощью скалярного произведения векторов градиента и направления.
Скалярное произведение градиента и направления можно найти следующим образом:
dz/ds = ∂z/∂x * dx/ds + ∂z/∂y * dy/ds
где dz/ds - искомая производная z в направлении градиента, dx/ds и dy/ds - составляющие направления.
Учитывая, что направление градиента z в точке М(3,4) равно (0.24, 0.32), можем перейти к решению:
dz/ds = 0.24 * dx/ds + 0.32 * dy/ds
Теперь нам нужно найти составляющие направления dx/ds и dy/ds. Для этого рассмотрим координаты точки M(3,4) и координаты направления.
Пусть направление задано вектором (a,b). Тогда dx/ds=a и dy/ds=b.
Итак, с учетом наших значений dx/ds=a и dy/ds=b мы можем записать искомую производную:
dz/ds = 0.24 * a + 0.32 * b
Таким образом, чтобы найти производную z=ln(x^2+y^2) в точке М(3,4) в направлении градиента z в точке М, нужно вычислить выражение 0.24 * a + 0.32 * b, где a и b — соответствующие координаты направления.
Для решения этой задачи мы можем использовать уравнение движения тела, которое брошено вертикально вверх:
h = h0 + v0t - (1/2)gt^2,
где
h - высота, на которую поднялось тело,
h0 - начальная высота (в данном случае положим ее равной нулю, так как высота измеряется относительно начальной позиции тела),
v0 - начальная скорость тела (в данном случае v0 = v(0)),
t - время,
g - ускорение свободного падения.
Наибольшая высота достигается в тот момент, когда вертикальная скорость тела становится равной нулю. Поэтому нам нужно найти такое значение времени t, при котором вертикальная скорость v равна нулю.
Подставим выражение для v в уравнение движения и решим уравнение относительно t:
39,2 - 19,8t = 0
19,8t = 39,2
t = 39,2 / 19,8
t ≈ 1,98 сек.
Теперь, когда мы нашли значение времени t, мы можем подставить его в уравнение движения и найти наибольшую высоту подъема тела:
h = h0 + v0t - (1/2)gt^2
h = 0 + v(0) * 1,98 - (1/2) * 9,8 * (1,98)^2
h ≈ 39,0 - 9,8 * 1,98^2
h ≈ 39,0 - 9,8 * 3,92
h ≈ 39,0 - 38,416
h ≈ 0,584 метра.
Таким образом, наибольшая высота подъема тела составляет около 0,584 метра.
дивіться фото