Question

По отдельности посчитайте число квадратов и число прямоугольников

Answer 1

Квадратов 418, прямоугольников 3232.

Пошаговое объяснение:

Найдем сначала количество прямоугольников. Их. можно разбить на три типа. Первый тип - те, которые лежат внутри левого квадрата 8x8, второй тип - которые лежат внутри правого квадрата, третий тип - которые лежат и там, и там. Первых - A штук (и вторых A штук), третьих - B штук. Найдем A. Каждый прямоугольник задается своим левым нижним краем и правым верхним краем. Занумеровав все маленькие квадратики (левый нижний - это (1,1), следующий по горизонтали (2,1), правый верхний (8,8)), каждый прям-к задаем двумя парами (i,j) и (k,m), где 1≤i≤k≤8; 1≤j≤m≤8. Если i=1, k может принимать 8 значений, если i=2, k может принимать 7 значений, и так далее. Всего получаем 8+7+6+...+1 возможностей, то есть 36. Столько же возможностей выбрать вторые координаты, а всего прямоугольников 36²=1296. Итак, A=1296. Переходим к поиску B. Здесь пары (i,j) и (k,m) должны удовлетворять условиям 1≤i≤8; 9≤k≤8; 5≤j≤m≤8. Всего 8·8·(4+3+2+1)=640 возможностей. Всего прям-ков 2A+B=2·1296+640=3232.

Переходим к поиску числа квадратов. Будем использовать те же обозначения для числа квадратов трех видов. Ищем A. Имеем 1 квадрат 8x8, 4=2² квадрата 7x7 (их левый нижний край находится среди 4 квадратиков (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)), 9=3² квадратов 6x6, ... , 64=8² квадратов 1x1. Поэтому A=1²+2²+3²+...+8²=204. Здесь я воспользовался формулой

                      $1^2+2^2+3^2+\ldots +n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Переходим к поиску B. Квадраты этого типа могут иметь размеры 4x4, 3x3, 2x2. В первом случае их 3 штуки (левый нижний угол у них (6,5), (7,5), (8,5)). Во втором случае их 4 штуки - (7,5), (8,5), (7,6), (8,6). В третьем случае 3 штуки - (8,5), (8,6), (8,7). Поэтому B=3+4+3=10.

Всего квадратов 2A+B=2·204+10=418.