Question

Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса 6.

Answer 1

$\sqrt{6}$

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим осевое сечение. Пусть радиус окружности основания цилиндра равен $x,$ тогда $AD = 2x.$ Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $ADC$$CD = h = \sqrt {{6^2} - {{(2x)}^2}} = 2\sqrt {9 - {x^2}}.$

Объем цилиндра V = Sh = 2\pi {x^2}\sqrt {9 - {x^2}} .

Найдем производную $V(x) = u(x)v(x), V'(x) = u'(x)v(x) + v'(x)u(x),$ где $u(x) = 2\pi {x^2}, v(x) = \sqrt {9 - {x^2}} ,$$v$ — сложная функция:

$V' = 4\pi x\sqrt {9 - {x^2}} + 2\pi {x^2} \cdot \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {9 - {x^2}} }} = 4\pi x\sqrt {9 - {x^2}} - 2\pi {x^3} \cdot \frac{1}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} = \frac{{6\pi x(6 - {x^2})}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}.$

Найдем максимум этой функции. Нули производной — числа $0$ и  $\pm \sqrt 6 .$ С метода интервалов видим, что функция возрастает от $0$ до $\sqrt 6$  и убывает после $\sqrt 6 ,$ таким образом $x = \sqrt 6$  — точка ее максимума.