Question

на простой интеграл , с подробным объяснением

Answer 1

Имеем подынтегральное выражение: $\displaystyle\mathsf{2x(x^2+1)^3}$

[Формула куб суммы: $\displaystyle\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}$]

Раскроем скобки, и распишем $(x^2+1)^3$ как куб суммы.

Значит, $\displaystyle\mathsf{2x(x^2+1)^3=2x(x^6+3x^4+3x^2+1)=2x^7+6x^5+6x^3+2x.}$

Теперь нам будет проще интегрировать. Нам потребуется следующее правило интегрирования:

$\displaystyle\mathsf{\int{x^n} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C}.$

Интегрируем:

$\displaystyle\mathsf{\int\limits^{\sqrt{2} }_{0} {2x^7+6x^5+6x^3+2x} \, dx =\frac{x^8}{4}+x^6+\frac{3x^4}{2}+x^2|^{\sqrt{2} }_{0}=(\frac{\sqrt{2}^8}{4}+\sqrt{2}^6+\frac{3*\sqrt{2}^4}{2}+\sqrt{2}^2)- }\\\displaystyle\mathsf{(\frac{0^8}{4}+0^6+\frac{3*0^4}{2}+0^2)=4+8+6+2-0=20.}$