Question

Дан ящик с квадратным основанием и объемом 64. Каковы должна быть его высота для того, чтобы поверхность без крышки была наименьшей? Умоляю

Answer 1

Высота должна быть равна $2\sqrt[3]{2}$

Пошаговое объяснение:

Пусть сторона основания равна x, тогда площадь основания $S = {x^2}$.

Так как объем такой прямой призмы вычисляется по формуле $V = SH$, то

$H = \displaystyle\frac{V}{S} = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}.$

Площадь поверхности без крышки состоит из четырех площадей одинаковых боковых граней, каждая из которых прямоугольник со сторонами $x$ и $\displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}},$ и площади основания (дна), поэтому она равна

$4 \cdot x \cdot \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}} + {x^2} = \displaystyle\frac{{256}}{x} + {x^2}.$

Найдем минимум функции

$S(x) = \displaystyle\frac{{256}}{x} + {x^2} = 256{x^{ - 1}} + {x^2}.$

Вычислим производную, применяя формулу $\[({x^n})' = n{x^{n - 1}},\]$ и приравняем ее нулю.

$S'(x) = - \displaystyle\frac{{256}}{{{x^2}}} + 2x = 0;displaystyle\frac{{2{x^3} - 256}}{{{x^2}}} = 0;2{x^3} = 256;{x^3} = 128;x = \sqrt[3]{{{2^7}}} = 4\sqrt[3]{2}.$

С метода интервалов убеждаемся, что проходя через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, таким образом, в этой точке достигается минимум функции.

При найденном значении $x$ высота равна

$H = \displaystyle\frac{{64}}{{{x^2}}}=\displaystyle\frac{{64}}{{{16\sqrt[3]{4=2\sqrt[3]{2}.$