Question

Найдите значение выражения под корнем a²/b² + b²/a² , если а/b + b/a =6

Answer 1

Решение.

   $\bf \displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=6$  

Возведём в квадрат обе части равенства и применим формулу квадрата суммы .

  $\displaystyle \bf\Big(\frac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\Big)^2=6^2frac{a^2}{b^2}+2\cdot \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}+\frac{b^2}{a^2}=36frac{a^2}{b^2}+2+\frac{b^2}{a^2}=36frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=36-2boxed{\bf \ \ \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=34\ \ }\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \boxed{\bf \ \ \sqrt{\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{34}\ \ }$            

Answer 2

Используя формулу квадрата суммы

(х+у)²=х²+2ху+у²

Выразим отсюда х²+у²

х²+у²=(х+у)²-2ху

В нашем случае x=a/b, y=b/a

$\sqrt{ \frac{ {a}^{2} }{ {b}^{2} } +\frac{ {b}^{2} }{ {a}^{2} } } = \sqrt{{( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} )}^{2} - 2 \times \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} } = \sqrt{{( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} )}^{2} - 2 } = \sqrt{ {6}^{2} - 2 } = \sqrt{36 - 2} = \sqrt{34}$