Question

Обчисліть площу фігури обмеженої лініями y=sinx y=cosx x=pi/2 x=pi

Answer 1

y = sin(x), y = cos(x), x = π/2 та x = π становить 1 квадратну одиницю

Пошаговое объяснение:

Для обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями, спочатку необхідно знайти точки перетину цих ліній.

Для ліній y = sin(x) і y = cos(x) перетин відбувається, коли sin(x) = cos(x). Це відбувається, коли x = π/4 (45 градусів) та x = 5π/4 (225 градусів) в радіанах.

Тепер візьмемо значення x = π/2 та x = π як границі для площі, оскільки фігура обмежена цими лініями.

Таким чином, площа фігури обмежена лініями y = sin(x), y = cos(x), x = π/2 та x = π може бути обчислена за до інтегралу:

S = ∫[π/2, π] (sin(x) - cos(x)) dx

Інтегруємо функцію (sin(x) - cos(x)) від x = π/2 до x = π:

S = [-cos(x) - sin(x)] [π/2, π]

= [-(cos(π) - sin(π)) - (-cos(π/2) - sin(π/2))]

= [-(1 - 0) - (0 - 1)]

= [-1 + 1 + 1]

= 1

Таким чином, площа фігури обмежена лініями y = sin(x), y = cos(x), x = π/2 та x = π становить 1 квадратну одиницю

Answer 2

Пошаговое объяснение:

Для обчислення площі фігури обмеженої цими лініями, спочатку необхідно визначити точки перетину цих ліній.

Задані лінії:

y = sin(x)

y = cos(x)

x = π/2

x = π

Точка перетину ліній y = sin(x) і y = cos(x) може бути знайдена шляхом вирішення рівняння sin(x) = cos(x).

sin(x) = cos(x)

tan(x) = 1

x = π/4

Таким чином, точка перетину ліній y = sin(x) і y = cos(x) є (π/4, 1/√2).

Тепер ми можемо обчислити площу фігури обмеженої цими лініями за до інтегралу:

S = ∫[π/4, π] (cos(x) - sin(x)) dx + ∫[π, π/2] (sin(x) - cos(x)) dx

Після обчислення цих інтегралів отримаємо площу фігури. Давайте обчислимо:

S = [-cos(x) + sin(x)] [π/4, π] + [-sin(x) - cos(x)] [π, π/2]

S = [-(cos(π) - sin(π)) + (cos(π/4) - sin(π/4))] + [-(sin(π/2) + cos(π/2)) - (sin(π) + cos(π))]

S = [-(-1 - 0) + (1/√2 - 1/√2)] + [-(1 + 0) - (0 + (-1))]

S = [1 + 0] + [-1 + 1]

S = 2

Отже, площа фігури обмеженої цими лініями дорівнює 2.