Question

Змінити порядок інтегрування в подвійному інтегралі.

Answer 1

Изменить порядок интегрирования  

  $\bf \displaystyle \int\limits_{-6}^2\, dy \int\limits_{\frac{y^2}{4}-1}^{2-y}\, f(x.y)\, dx$                                                                                

Точки пересечения графиков :   $\bf \dfrac{y^2}{4}-1=2-y$  ,

$\bf y^2-4=8-4y\ \ ,\ \ \ y^2+4y-12=0\ \ \to \ \ \ y_1=-6\ ,\ y_2=2x=2-y\ \ \to \ \ x_1=2+6=8\ \ ,\ \ x_2=2-2=0$

Точки   $\bf (\, 8\, ;-6\, )\ ,\ (\, 0\, ;\, 2\, )$  .

Выразим из уравнений линий  у  через   х  .   $\bf x=\dfrac{y^2}{4}-1\ \ \to \ \ \ y^2=4x+4\ \ ,\ \ y=\pm \sqrt{4x+4}\ \ ,\ \ y=\pm 2\sqrt{x+1}x=2-y\ \ \ \to \ \ \ y=2-x$  

$\bf \displaystyle \int\limits_{-6}^2\, dy \int\limits_{\frac{y^2}{4}-1}^{2-y}\, f(x.y)\, dx=\int\limits_{-1}^0\, dx \int\limits_{-2\sqrt{x+1}}^{2\sqrt{x+1}}\, f(x.y)\, dy+\int\limits_{0}^8\, dx \int\limits_{-2\sqrt{x+1}}^{2-x}\, f(x.y)\, dy$