Question

y''+2y'=0 , якщо y=0, y'=1 при x=0

Answer 1

Відповідь:

Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.

Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:

v' + 2y' = 0 (1)

y' = v (2)

Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):

v' + 2v = 0

Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:

dv/v = -2dx

Інтегруємо обидві частини:

ln|v| = -2x + C1

де C1 - це стала інтеграції.

Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:

ln|y'| = -2x + C1

Піднесемо обидві частини до експоненти:

|y'| = e^(-2x + C1)

Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:

y' = ±e^(-2x + C1)

Де C1 - це довільна константа.

Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:

∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx

y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx

y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx

y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2

де C2 - це інша константа інтегрування.

Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:

y = ±Ce^(-2x) + D

де C = e^(C1) і D = C2.

Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.

Коли x = 0, ми маємо:

y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0

y'(0) = -2C = 1

Відсиюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.

Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±

Покрокове пояснення: