Question

1) написать уравнение плоскости, проходящей через точки м1 и м2, параллельно вектору а=(1,2,1), если м1(2,2,1), м2(3,3,2) 2) написать канонические и параметрические уравнения прямой заданной общими уравнениями: 4х+2у+3z+2=0; 4x+3y+4z+1=0

Answer 1

1.

Уравнение плоскости, проходящей через некоторую точку с координатами (x₀,y₀,z₀), в общем виде записывается так:

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀)= 0, где коэффициенты A,B,C - координаты вектора нормали $\overline n$

Найдём вектор $\overline{M_1M_2} = \{1,1,1\}$

Вектор нормали $\overline n$ найдём из векторного произведения векторов a и M₁M₂

$\overline{n} =[\overline{a}~\times~\overline{M_1M_2}] = \begin{vmatrix} \overline i & \overline j & \overline k \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \overline i - \overline k = \{1, 0, -1\}$

Плоскость задаётся уравнением:

(x - 2) + 0(y - 2) - (z - 1) = 0

ответ: x - z - 1 = 0

2.

Чтобы записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде необходимо найти направляющий вектор этой прямой и точку, через которую эта прямая проходит

Найдём координаты точки A, которая принадлежит прямой

Пусть z = 0

Решим систему: $\left \{\begin{array}{lcl} {{4x + 3y=-1} \\ {4x+2y=-2}}\end{array} \right. \Leftrightarrow ~~\left \{\begin{array}{lcl} {{y=1} \\ {x=-1}}\end{array} \right.$

Координаты точки A(-1, 1, 0)

Найдём координаты точки B, которая принадлежит прямой

Пусть z = -4

Снова решим систему: $\left \{\begin{array}{lcl} {{4x + 3y=15} \\ {4x+2y=10}}\end{array} \right. \Leftrightarrow ~~\left \{\begin{array}{lcl} {{y=5} \\ {x=0}}\end{array} \right.$

Координаты точки B(0, 5, -4)

Найдём направляющий вектор прямой$\overline{AB} = \{0 - (-1), 5 - 1, -4-0\} = \{1,4,-4\}$

Запишем уравнение прямой в каноническом виде: $\frac{x+1}{1} =\frac{y-1}{4} =\frac{z}{-4}$

И в параметрическом виде: $\left \{\begin{array}{lcl} {{x=t-1} \\ {y=4t+1} \\ {z = -4t}}\end{array} \right. t \in \mathbb{R}$