Question

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4б) длиной 5в) длиной k , где k ‐ любое натуральное число?

Answer 1

Можно ли из последовательности  1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7... 
выделить арифметическую прогрессию
а) длиной 4;
б) длиной 5;
в) длиной n, где n - любое натуральное число?Возьмём парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность.

                              

Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью:

                                        

Если первые два числа привести к тому же знаменателю m(m + k), то получим:

                                        

Чтобы прогрессия состояла из трёх членов данной последовательности, третья дробь
должна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т.е. 
знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - k).
Это произойдёт, например, при m = 2k. Получим прогрессию:

                              

Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий.

Чтобы в четвёртом члене прогрессии при сокращении оказалась единица,
знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - 2k).
Это произойдёт, например, при m = 3k:

                                             

Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмём m = 4k. Наша прогрессия:

                                                            

Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмём k = 3:

                                                            

Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения:

                                    

Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны. 
Возьмём в качестве знаменателя n!, а в качестве числителей 1, 2, 3,

                                  ...