Question

Найдите наибольшее значение функции у=11+24х-2х корень из х

Answer 1

523

Пошаговое объяснение:

Дана функция:

$y=11+24*x-2*x*\sqrt{x}$

Область определения функции: x≥0 или x∈[0; +∞)

Производная функции

$\displaystyle y'=(11+24*x-2*x*\sqrt{x})'=(11)'+24*(x)'-2*(x^{\dfrac{3}{2}})'=\\\\=0+24*1-2*\frac{3}{2}}*x^{\dfrac{3}{2}-1}=24-3*x^{\dfrac{1}{2}}=24-3*\sqrt{x}$

Определим критические точки:

y'=0 ⇔ $\displaystyle 24-3*\sqrt{x}=0$ ⇔ $\displaystyle \sqrt{x}=8$ ⇔ x=64.

Рассмотрим знак производной

если 0<x<64, то $\displaystyle y'=24-3*\sqrt{x}0$ ;

если 64<x, то $\displaystyle y'=24-3*\sqrt{x}<0$ .

Отсюда на интервале x∈(0; 64) функция строго возрастает, а на интервале x∈(64; +∞) функция строго убывает. Тогда х=64 точка максимума и наибольшее значение функции:

$y(64)=11+24*64-2*64*\sqrt{64}=11+24*64-16*64=11+8*64=11+512=523$