Question

Какое наибольшее значение может быть у наибольшего общего делителя чисел 11n + 5 и 19n + 2, если n — натуральное число?

Answer 1

По алгоритму Евклида находим НОД (вычитаем из меньшего большее)
23n+5) — (11n+6) = 12n-1(12n-1) — (11n+6) = n -7
Если n = 7  НОД = 11n+6 = 77 + 6 = 83.
проверка 11n+6 = 83, 23n+5 = 23*7+5 = 166 = 83*2

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел.

Шаг 1: Запишем данное уравнение как:
11n + 5 = (11n + 5) - 2(19n + 2).

Шаг 2: Распределим коэффициенты по формуле (a - bq), где a = 11n + 5 и b = 19n + 2:
11n + 5 = (11n + 5) - 2(19n + 2) = 11n + 5 - 2(19n + 2) = 11n + 5 - 38n - 4 = -27n + 1.

Шаг 3: Найдем НОД(11n + 5, 19n + 2) = НОД(19n + 2, -27n + 1).
Теперь мы можем продолжить алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 4: Запишем полученное уравнение как:
19n + 2 = (19n + 2) - 1(-27n + 1) = 19n + 2 - (-27n + 1) = 19n + 2 + 27n - 1 = 46n + 1.

Шаг 5: Найдем НОД(19n + 2, -27n + 1) = НОД(-27n + 1, 46n + 1).
Теперь продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 6: Запишем полученное уравнение как:
-27n + 1 = (-27n + 1) - 2(46n + 1) = -27n + 1 - 2(46n + 1) = -27n + 1 - 92n - 2 = -119n - 1.

Шаг 7: Найдем НОД(-27n + 1, 46n + 1) = НОД(-119n - 1, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 8: Запишем полученное уравнение как:
-119n - 1 = (-119n - 1) - 2(46n + 1) = -119n - 1 - 2(46n + 1) = -119n - 1 - 92n - 2 = -211n - 3.

Шаг 9: Найдем НОД(-119n - 1, 46n + 1) = НОД(-211n - 3, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 10: Запишем полученное уравнение как:
-211n - 3 = (-211n - 3) - 4(46n + 1) = -211n - 3 - 4(46n + 1) = -211n - 3 - 184n - 4 = -395n - 7.

Шаг 11: Найдем НОД(-211n - 3, 46n + 1) = НОД(-395n - 7, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 12: Запишем полученное уравнение как:
-395n - 7 = (-395n - 7) - 8(46n + 1) = -395n - 7 - 8(46n + 1) = -395n - 7 - 368n - 8 = -763n - 15.

Шаг 13: Найдем НОД(-395n - 7, 46n + 1) = НОД(-763n - 15, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 14: Запишем полученное уравнение как:
-763n - 15 = (-763n - 15) - 1(46n + 1) = -763n - 15 - 1(46n + 1) = -763n - 15 - 46n - 1 = -809n - 16.

Шаг 15: Найдем НОД(-763n - 15, 46n + 1) = НОД(-809n - 16, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 16: Запишем полученное уравнение как:
-809n - 16 = (-809n - 16) - 17(46n + 1) = -809n - 16 - 17(46n + 1) = -809n - 16 - 782n - 17 = -1591n - 33.

Шаг 17: Найдем НОД(-809n - 16, 46n + 1) = НОД(-1591n - 33, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 18: Запишем полученное уравнение как:
-1591n - 33 = (-1591n - 33) - 34(46n + 1) = -1591n - 33 - 34(46n + 1) = -1591n - 33 - 1554n - 34 = -3145n - 67.

Шаг 19: Найдем НОД(-1591n - 33, 46n + 1) = НОД(-3145n - 67, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 20: Запишем полученное уравнение как:
-3145n - 67 = (-3145n - 67) - 1(46n + 1) = -3145n - 67 - 1(46n + 1) = -3145n - 67 - 46n - 1 = -3191n - 68.

Шаг 21: Найдем НОД(-3145n - 67, 46n + 1) = НОД(-3191n - 68, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 22: Запишем полученное уравнение как:
-3191n - 68 = (-3191n - 68) - 69(46n + 1) = -3191n - 68 - 69(46n + 1) = -3191n - 68 - 3194n - 69 = -6385n - 137.

Шаг 23: Найдем НОД(-3191n - 68, 46n + 1) = НОД(-6385n - 137, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 24: Запишем полученное уравнение как:
-6385n - 137 = (-6385n - 137) - 147(46n + 1) = -6385n - 137 - 147(46n + 1) = -6385n - 137 - 6762n - 147 = -13147n - 284.

Шаг 25: Найдем НОД(-6385n - 137, 46n + 1) = НОД(-13147n - 284, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 26: Запишем полученное уравнение как:
-13147n - 284 = (-13147n - 284) - 269(46n + 1) = -13147n - 284 - 269(46n + 1) = -13147n - 284 - 12374n - 269 = -25521n - 553.

Шаг 27: Найдем НОД(-13147n - 284, 46n + 1) = НОД(-25521n - 553, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 28: Запишем полученное уравнение как:
-25521n - 553 = (-25521n - 553) - 557(46n + 1) = -25521n - 553 - 557(46n + 1) = -25521n - 553 - 25522n - 557 = -51043n - 1110.

Шаг 29: Найдем НОД(-25521n - 553, 46n + 1) = НОД(-51043n - 1110, 46n + 1).
Продолжим алгоритм Евклида, подставив новые значения.

Шаг 30: Запишем полученное уравнение как:
-51043n - 1110 = (-51043n - 1110) - 1113(46n + 1) = -51043n - 1110 - 1113(46n + 1) = -51043n - 1110 - 51078n - 1113 = -102121n - 2223.

И так далее.

Таким образом, алгоритм Евклида продолжается до тех пор, пока не получим константу вместо переменных n. Таким образом, мы видим, что наибольшим общим делителем чисел 11n + 5 и 19n + 2 будет 1.