Question

Найдите нули первообразной функции f: [pi; 2pi]-> r, f(x)=cos(x)-sin(x), если известно, что f(3pi/2)=-2.

Answer 1

Найдем интеграл от f(x)

Получаем:

$F(x)=\int{f(x)}\, dx \\ F(x)=\int{(cos(x)-sin(x)})\,dx=\int{cos(x)}\,dx - \int {sin(x)}\,dx= \\ =sin(x)+cos(x)+C, \\C=const$

Надо найти C.

Известно что $F(\frac{3\pi}{2})=-2$

Подставим в найденное F(x), получим:

$sin(\frac{3\pi}{2})+cos(\frac{3\pi}{2})+C=-2 \\ -1+0+C=-2 \\ C=-2+1 \\ C=-1$

 Получили, что $F(x)=sin(x)+cos(x)-1$ 

Дальше надо решить уравнение:

$sin(x)+cos(x)-1=0 \\ sin(x)=\sqrt{1-cos^2(x)} \\ \sqrt{1-cos^2(x)}=1-cos(x) \\ 1-cos^2(x)=1-2cos(x)+cos^2(x)\\ 2cos^2(x)-2cos(x)=0\\ 2cos(x)(cos(x)-1)=0\\ 1) \ cos(x)=0 \\ x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z\\ 2)\ cos(x)-1=0\\ cos(x)=1\\ x_2=2\pi n, n \in Z$

Итак получили 2 решения, теперь обратим внимание на условие: $f: [\pi;2\pi] \to R$, что под ним подразумевалось изначально, я не уверен, может быть этим условием хотели сказать что нас интересуют только действительные корни уравнения и мы не рассматриваем пространство комплексных корней, но скорее всего здесь это было сделано для того чтобы ограничить область в которой лежат нули первообразной, областью следующего вида: $x \in [\pi; 2\pi]$. Будем полагать что это так, тогда нули первообразной $x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k \\ x_2=2\pi n , \\k,n \in Z$ лежат на данном отрезке при n=1, и первый корень вообще не будет лежать на отрезке при любых значениях k

таким образом получается, что:

$x=2\pi$ единственный ноль первообразной.

Подводя итог получаем

Нулями производной будут: $x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k \in Z \\ x_2=2\pi n, n \in Z$ 

Однако условию  $f: [\pi;2\pi] \to R$ удовлетворяет только  $x=2\pi$

ответ: $x=2\pi$