Question

Втреугольник со стороной а и высотой h, проведенной к этой стороне, вписан прямоугольник таким образом что одна из его сторон содержится стороной а треугольника. найдите максимальную площадь прямоугольника. это надо сделать с функций и производных!

Answer 1

$S_{Δ}$ = $\frac{ah}{2}$
пусть х = длина прямоугольника, лежащая на стороне треугольника
         у = высота прямоугольника
Прямоугольник разбивает треугольник на 3 треугольника и прямоугольник. Поэтому можно площадь собрать из площадей этих фигур.
$S_{Δ}$ = xy + $\frac{x(h-y)}{2} + \frac{(a-x)y}{2}$ = $\frac{xh +ay}{2}$
если приравнять обе площади, то получим равнство
ah = xh + ay  ⇒  $x = \frac{a(h-y)}{h}$
Тогда площадь прямоугольника S = xy
S = $\frac{a}{h} (h-y)y$
S ' = $\frac{a}{h} (h-2y)$
S ' = 0  $\frac{a}{h} (h-2y)=0$  ⇒ y = h/2  точка максимума
S(h/2) = $\frac{a}{h} (h- \frac{h}{2} )* \frac{h}{2} = \frac{ah}{4}$
Это и есть наибольшее значение площади