Question

Найти ассимптоты функции y=x*arctg(x) нужно

Answer 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{xAtg(x)}{x}= \lim_{x \to \infty} Atg(x)= \frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to \infty} xAtg(x)-\frac{\pi}{2}x =\lim_{x \to \infty} x(Atg(x)-\frac{\pi}{2})= \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{xAtg(x)-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}$
Числитель и знаменатель непрерывно дифференциируемы на требуемой области, можем применить правило Лопиталя.
Из правила Лопиталя получаем: $\frac{xAtg(x)-\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{x}}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{2x^2}}= \\ = \lim_{x \to \infty} -\frac{2x^2}{1+x^2}=-2$
Первая асимптота при $x \to \infty$ будет $y_1=\frac{\pi}{2}x-2$

По тому-же принципу находим вторую асимптоту (расчёты подобны, потому их упускаю):
$\lim_{x \to -\infty} \frac{xAtg(x)}{x}=-\frac{\pi}{2} \\ \lim_{x \to -\infty} x(Atg(x)+ \frac{\pi}{2})=-2$
Вторая асимптота при $x \to -\infty$ будет $y_2=-\frac{\pi}{2}x-2$