Question

Решите дифференциальное уравнение: y''+y'=x

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y''+y'=0$

Пусть $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2+k=0~~\Rightarrow~~ k(k+1)=0~~~\Rightarrow~~~ k_1=0;~~~k_2=-1$

$y^*=C_1+C_2e^{-x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x=xe^{0x}$

Здесь $\alpha =0;~~ P_n(x)=x~~~\Rightarrow~~~ n=1$

Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде:

$\overline{y}=x(Ax+B)=Ax^2+Bx\\ y'=2Ax+B\\ y''=2A$

Подставим в исходное дифференциальное уравнение:

$2A+2Ax+B=x$

Приравниваем коэффициенты при степенях х:

$\displaystyle \left \{ {{2A+B=0} \atop {2A=1}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~~\left \{ {{B=-1} \atop {A=0.5}} \right.$

Частное решение: $\overline{y}=\dfrac{x^2}{2}-x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+\overline{y}=C_1+C_2e^{-x}+\dfrac{x^2}{2}-x$