Назовём оценки 0, 1 и 2 низкими, а остальные - высокими. Заметим, что если у двух участников одинаковое число низких оценок, то после манипуляций оргкомитета их порядок не меняется, так как к каждой низкой оценке прибавляется 6, и меньшая сумма остаётся меньшей. Так как есть только 8 возможных вариантов для количества низких оценок (0, 1, ..., 7), то участников не более 8.
Здесь суть в том, чтобы рассмотреть функцию arctg(3m^2+12m+11). Областью определения f1(m)=arctg(m) является множество действительных чисел. Областью определения f2(m)=arctg(3m^2+12m+11) тоже является множество действительных чисел. Множество значений f1(m) равно (-π/2;π/2). Но теперь рассмотрим внимательнее функцию f2(m). Запишем ее от другого аргумента. Это будет уже другая функция g(n)=arctg(n), причем n является функцией от m. n(m)=3m^2+12m+11. Теперь уже на область определения функции g(n) накладываются новые ограничения, поскольку областью определения функции g(n) является область значений функции n(m). n(m) - парабола с ветвями вверх, ее минимальное значение достигается при m=-12/(2*3)=-2. n(-2)=-1. Сверху ограничений на функцию n(m) нет. Функции f1(m) и g(n) похожи. Разница лишь в их области определения. Это влечет изменение области значений. Если у f1(m) нижней границей была асимптота -π/2, то у g(n) наименьшим значением является g(-1)=-π/4. Верхняя же граница у обоих функций совпадает. Таким образом, областью значений функции g(n)=arctg(n), где n(m)=3m^2+12m+11, является полуинтервал [-π/4;π/2). Вернемся к исходному неравенству. 1) Если x=0, то левая часть неравенства обращается в 0, и неравенство не справедливо ни при каких m. 2) x∈[-3;0) Можно разделить обе части на 4x, при этом сменив знак неравенства. π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)<0 arctg(3m^2+12m+11)>π/4*(x+1) Слева находится функция арктангенса, ограниченная областью значений [-π/4;π/2). Справа находится горизонтальная прямая. Требуется, чтобы функция арктангенса была полностью выше этой прямой. Очевидно, что π/4*(x+1) должно быть строго меньше наименьшего значения функции арктангенса. π/4*(x+1)<-π/4 x+1<-1 x<-2 Ввиду ограничений для этого пункта, x∈[-3;-2) 3) x∈(0;1] Здесь разделим исходное неравенство на 4x уже без смены знака. π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)>0 arctg(3m^2+12m+11)<π/4*(x+1) Так как π/2 является верхней границей арктангенса, которая никогда не достигается, то справедливо неравенство: arctg(3m^2+12m+11)<π/2≤π/4*(x+1) Отсюда π/2≤π/4*(x+1), 2≤x+1 x≥1 С учетом ограничений для этого пункта, x=1. Таким образом, x∈[-3;2)∪{1}
7\2х-13\4у=16 1\6
х=(16+6у)\5
7\2((16+6у)\5-13\4у=97\6
(56+21у)\5-13\4у=97\6
24(56+21у)-30*13у=97*20
1344+504у-390у=1940
114у=596
у=5 13\57
5х-(6*5 13\57)=16
5х-31 7\19=16
5х=47 7\19
х=9 9\19
ответ: х=9ц9\19 ;у=5ц13\57.