Дано: - треугольник АВС, - угол А = х, - угол В = 2х, - угол С = 4х.
Сумма углов треугольника равна π, то есть х + 2х + 4х = 7х = π. Тогда углы имеют конкретные значения: - угол А = π/7 ≈ 25,71429°, - угол В = 2π/7 ≈ 51,42857°, - угол С = 4π/7 ≈ 102,8571°. В треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. sin A = 0,433884, sin B = 0,781831, sin C = 0,974928. Примем меньшую сторону за 1: а = ВС = 1, b = АС = (1/ 0,433884)*0,781831 = 1,801938. c = АВ =(1/ 0,433884)*0,974928 = 2,24698.
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о свойствах вписанной окружности и формуле площади треугольника.
Согласно свойству вписанной окружности, любая прямая, проведенная из вершины треугольника к точке касания окружности с стороной, делит эту сторону на две части, длины которых являются хордами окружности. В нашем случае, такая прямая будет проходить через точку C и делить сторону AB на две равные части длиной 7.5 см каждая.
Мы можем обозначить длины сторон треугольника как AB = 15 см, AC = 7.5 см и BC = 7.5 см. Теперь мы можем использовать формулу полупериметра треугольника и радиус вписанной окружности, чтобы найти площадь треугольника.
Полупериметр треугольника вычисляется по формуле s = (AB + AC + BC) / 2. В нашем случае s = (15 + 7.5 + 7.5) / 2 = 15 см.
Формула площади треугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности имеет вид S = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)), где sqrt обозначает квадратный корень.
