Question

Допожіть розв'язати нерівність

Answer 1

Применяем неравенство Коши-Буняковского

(√a-√b)²≥0

a - 2√(ab) + b ≥0

$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\\ \\a0;b0\\\\ \\ \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}\\ \\\frac{y+z}{2}\geq \sqrt{yz}\\ \\\frac{x+z}{2}\geq \sqrt{xz}$

Перемножаем:

$\frac{(x+y)(y+z)(x+z)}{8} \geq \sqrt{x^2y^2z^2} \\ \\ (x+y)(y+z)(x+z)\geq8xyz\\ \\ \frac{x+y}{x}\cdot \frac{y+z}{y} \cdot\frac{x+z}{z} \geq8\\ \\(1+\frac{x}{y})1+\frac{y}{z})(1+\frac{x}{z})\geq 8$