Question

Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в данный круг радиусом r, наибольшую площадь имеет квадрат.

Answer 1

Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:
$S(x)=x\cdot y\\ x^2+y^2=(2R)^2 \ \ \ =y=\sqrt{4R^2-x^2} \\ S(x)=x\sqrt{4R^2-x^2}$
Находим экстремум:
$S'(x)=\sqrt{4R^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4R^2-x^2}}=\frac{4R^2-2x^2}{\sqrt{4R^2-x^2}}\\ S'(x)0 \ \ \ <= \ \ \ 2R^2x^2 \ \ \ <= \ \ \ x \in(-\sqrt{2}R,\sqrt{2}R)$
Так, как $x$ это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один $x=\sqrt{2}R$
Находим $y$ (хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):
$y=\sqrt{4R^2-x^2} \ : \ x=\sqrt{2}R\ \ \ = \ \ \ y=\sqrt{4R^2-2R^2}=\sqrt{2}R \\ x=y$
Что и требовалось доказать.