Question

Найдите сумму 1^2*x+2^2*+n^2*x^n всего n членов

Answer 1

$x+4x^2+9x^3+16x^4+25x^5+36x^6+.....+n^2*x^n=\\\\$
 Преобразуем  $x(1 + 4x + \frac{3^3x^2}{3} + \frac{4^4x^3}{4^2} + \frac{5^5x^4}{5^3}+...\frac{n^n*x^{n-1}}{n^{n-2}})$
Рассмотрим ряда суммы ,если взять интеграл от исходной суммы , то есть по частям  
$\int\limits (1 + 4x + \frac{3^3x^2}{3} + \frac{4^4x^3}{4^2} + \frac{5^5x^4}{5^3}+...\frac{n^n*x^{n-1}}{n^{n-2}}$$= x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5$ 
 отсюда можно еще преобразовать $x(1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+...+...n*x^{n-1})$ заметим что в скобках есть производная суммы так как
  $x^n'=n*x^{n-1}$ получим геометрическую прогрессию 
 $x+x^2+x^3+x^4+.....+x^5=\frac{x(x^n-1)}{x-1}$ , найдем производную и умножим на $x$ , в итоге получим        
 $\frac{x^{n+1}*(nx-n-1)+x}{(x-1)^2}$ , так как  мы проинтегрировали сумму , то  надо найти вторую производную : 
 $\frac{x^n(n^2x^2-2n^2x-2nx+x+n^2+2n+1)-x-1}{(x-1)^3}$
 и умножим на 2 в итоге получим формулу выражающую сумму  
   $2*\frac{x^n(n^2x^2-2n^2x-2nx+x+(n+1)^2)-x-1}{(x-1)^3}$
 Проверяя все подходит