Question

Решите : к плоскости правильного треугольника авс из вершины а проведён перпендикуляр ад, равный 12 см. точка д удалена от стороны вс на 13 см. вычислите площадь треугольника авс.

Answer 1

Чтобы найти площадь правильного треугольника, достаточно узнать его сторону.
Рассмотри треугольники АДВ и АДС - они прямоугольные (так как АД - перпендикуляр к плоскости АВС), АД - общая сторона, АВ=АС (так как треугольник АВС - правильный). Значит треугольники АДВ и АДС равны. Значит ДВ = ДС, значит треугольник ДВС - равнобедренный.
Расстояние от Д до ВС - это перпендикуляр из Д, опущенный на ВС (назовем его ДН). Точка Н - середина ВС (так как ДВС - равнобедренный треугольник).
ДН = 13 - по условию.
АН - медиана треугольника АВС (так как Н - середина ВС), значит АН - еще и высота (так как АВС - правильный треугольник).
Рассмотрим треугольник АДН: так как АД - перпендикуляр к плоскости АВС, то АД перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит АД перпендикулярен и АН. Значит АДН - прямоугольный треугольник, АД = 12, ДН = 13. По теореме Пифагора АН = 5 - это высота правильного треугольника.
$h = \frac{a \sqrt{3} }{2}$ - это связь высоты (h) и стороны (a) в правильном треугольнике. Значит
$5 = \frac{AB \sqrt{3} }{2}$
$10 =AB \sqrt{3}$
$AB = \frac{10}{\sqrt{3}}$
Зная сторону находим площадь:
$S_{ABC} = \frac{AB^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{100 \sqrt{3} }{3*4} = \frac{25\sqrt{3} }{3}$

ответ: $S_{ABC} = \frac{25\sqrt{3} }{3}$