Количество всех 4-значных чисел равно 9999-999=9000. Посчитаем вначале количество чисел не удовлетворяющих условию: а именно, тех, у которых в записи вообще нет пятерок, или есть только одна. 1) Если у числа в записи нет пятерок, то первая цифра может принимать любые значения кроме 0 и 5, т.е. всего 8 значений, а остальные цифры могут принимать все значения, кроме 5, т.е. всего 9 значений. Итак, количество таких чисел 8*9³. 2) Если пятерка стоит на первом месте (в старшем разряде), то остальные цифры независимо друг от друга принимают по 9 значений (все кроме 5), т.е. таких чисел 9³.
Когда цифра 5 находится на 2-м, 3-м или 4-м местах, то первая цифра может принимать 8 значений (все кроме 0 и 5), одна из остальных цифр всегда равна 5, и две оставшиеся принимают 9 значений, т.е. общее количество таких чисел 3*8*9²
Итак, общее количество искомых чисел равно 9000-8*9³-9³-3*8*9²=495.
Нужно расставить цифры на оставшиеся 4 разряда числа. 1) Пусть одним из разрядов является 1. Число расставить 1 на один из 4 разрядов равно 4. Теперь осталось поставить цифры на 3 оставшихся разряда, при этом нельзя брать 1. Число выбрать 3 различных цифры среди девяти цифр (исключили 1) с учетом порядка их следования равно A(9,3)=9*8*7. То есть количество пятизначных чисел, которые содержат две повторяющиеся 1 и начинаются на 1, равно 4*9*8*7 2) Пусть ни одним из оставшихся разрядов не является 1. Тогда надо выбрать из девяти цифр ту, которая будет повторяться в этом числе. Это можно сделать Затем эти две цифры надо поставить на какие-то два из четырех разрядов. Так как цифры одинаковые, то порядок их следования не важен. Значит, число здесь равно C(4,2)=4!/(2!*2!)=6. На оставшиеся два места нужно поставить два числа, причем выбирать их нужно из оставшихся восьми (нельзя брать 1 и ту цифру, которая повторяется в числе). Число сделать это равно A(8,2)=8*7. То есть количество пятизначных чисел, которые начинаются на 1 и содержат ровно две одинаковые цифры, отличные от 1, равно 9*6*8*7 Суммируем оба случая: 4*9*8*7+9*6*8*7=10*9*8*7=5040
