Question

Втаблицу 2×5 записали все натуральные числа от 1 до 10. после этого подсчитали каждую из сумм чисел по строке и по столбцу (всего получилось 7 сумм). какое наибольшее количество этих сумм может оказаться простыми числами?

Answer 1

Для начала, выпишем простые числа, которые могут получиться в виде суммы.
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
А теперь будем пытаться поэтапно составлять суммы так, чтобы получались простые числа.
1
2

1 3
2 4

1 3 5
2 4 6

1 3 5 7
2 4 6 10

1 3 5 7   8
2 4 6 10 9

Теперь попытаемся также составить суммы строчек так, чтобы они также были простыми числами. Чтобы это произошло, мы можем менять местами числа в столбцах, так как сумма столбцов все равно останется простыми числами, даже если мы переставим их местами.
Изначально S1=1+3+5+7+8=24, S2=2+4+6+10+9=31, S=55, где S1 - сумма цифр 1 ряда, S2 - сумма цифр 2 ряда, S - сумма всех цифр.
Заметим, что S - нечетное число. Мы же должны разложить его на две суммы, в идеальном случае, чтобы оба слагаемых были простыми. Но это невозможно, так как хотя бы одно из слагаемых будет четным, то есть кратным двум, то есть уже заведомо составным. Тогда получаем, что как минимум одна сумма будет составной, то есть наибольшим количеством сумм будет 6.
ответ: 6.