№ 1:
решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. в ответе укажите сумму его корней.
(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0
(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0
замена x^2-x+1=a
a^2-10(a-13)-109=0
a^2-10a+130-109=0
a^2-10a+21=0
(a-3)(a-7)=0
a=3
a=7
x^2-x+1=3
x^2-x-2=0
d=1+4*2> 0, корни есть
x1+x2=1
x^2-x+1=7
x^2-x-6=0
d=1+4*6> 0, корни есть
x3+x4=1
x1+x2+x3+x4=1+1=2
ответ: 2
№ 2:
число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. в каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?
первый случай обозначим за х x=7k+2
второй случай обозначим за у y=7k+4
x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4
y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2
4> 2, больший остаток найден
ответ: 1 (остаток 2)
№ 3:
два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. какова скорость первого пешехода (в км/ч)?
пусть х скорость первого (ее надо найти), у скорость второго
имеем систему
2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа
5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин
5x+4y=40
5x+8y=60
4y=20
y=5
2.5x+2*5=20
2.5x=10
x=4
ответ: 4
№ 4:
трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. найти такое трехзначное число.
это число abc
система:
100a+10b+c=100c+10b+c+495
a+b+c=17
a^2+b^2+c^2=109
a=c+5
c+5+b+c=17
(c+5)^2+b^2+c^2=109
b+2c=12
c^2+10c+25+b^2+c^2=109
b=12-2c
2c^2+10c+b^2-84=0
2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0
2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0
6c^2-38c+60=0
3c^2-19c+30=0
d=361-4*3*30=1
c=(19+1)/6=20/6 не натуральное
c=(19-1)/6=3
b=12-2*3=6
a=3+5=8
ответ: 863
№ 5:
при каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?
6-3b+4bx=4b+12x
4bx-12x=4b-6+3b
(4b-12)x=7b-6
x=(7b-6)/(4b-12)
(7b-6)/(4b-12)< 1
(7b-6-4b+12)/(4b-12)< 0
(3b+6)/(4b-12)< 0
(b+2)/(b-3)< 0
промежуток между корнями (-2; 3)
ответ: (-2; 3)
№ 6:
диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1: 2. периметр трапеции равен 90. найдите большую сторону трапеции.
меньшее основание х, большее основание 2х
если острый угол при основании 2а, то его половина, отсеченная биссектрисой а
сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2а)
теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами а и (180-2а), находим третий угол - а - треугольник равнобедренный
боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание
значит и боковые стороны трапеции равны х
записываем периметр
х+х+х+2х=90
5х=90
х=18
большая сторона 2х=36
ответ: 36
№ 7:
четырехугольник pqrs вписан в окружность. диагонали pr и qs перпендикулярны и пересекаются в точке m. известно, что ps=13, qm=10, qr=26. найти площадь четырехугольника pqrs.
углы prq и psq опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы pms и rmq равны
тогда треугольники pms и rmq подобны
k=qr/ps=2
отношение k=qm/pm=2
10/pm=2; pm=5
отношение k=rm/sm=2
находим rm по т. пифагора
rm=корень(qr^2-qm^2)=корень(26^2-10^2)=24
24/sm=2; sm=12
тогда полные диагонали:
qs=qm+sm=10+12=22
pr=pm+rm=5+24=29
площадь четырехугольника равна их диагоналей на синус угла между ними
s=(1/2)*22*29*sin90=319
ответ: 319
№ 1:
решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. в ответе укажите сумму его корней.
(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0
(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0
замена x^2-x+1=a
a^2-10(a-13)-109=0
a^2-10a+130-109=0
a^2-10a+21=0
(a-3)(a-7)=0
a=3
a=7
x^2-x+1=3
x^2-x-2=0
d=1+4*2> 0, корни есть
x1+x2=1
x^2-x+1=7
x^2-x-6=0
d=1+4*6> 0, корни есть
x3+x4=1
x1+x2+x3+x4=1+1=2
ответ: 2
№ 2:
число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. в каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?
первый случай обозначим за х x=7k+2
второй случай обозначим за у y=7k+4
x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4
y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2
4> 2, больший остаток найден
ответ: 1 (остаток 2)
№ 3:
два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. какова скорость первого пешехода (в км/ч)?
пусть х скорость первого (ее надо найти), у скорость второго
имеем систему
2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа
5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин
5x+4y=40
5x+8y=60
4y=20
y=5
2.5x+2*5=20
2.5x=10
x=4
ответ: 4
№ 4:
трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. найти такое трехзначное число.
это число abc
система:
100a+10b+c=100c+10b+c+495
a+b+c=17
a^2+b^2+c^2=109
a=c+5
c+5+b+c=17
(c+5)^2+b^2+c^2=109
b+2c=12
c^2+10c+25+b^2+c^2=109
b=12-2c
2c^2+10c+b^2-84=0
2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0
2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0
6c^2-38c+60=0
3c^2-19c+30=0
d=361-4*3*30=1
c=(19+1)/6=20/6 не натуральное
c=(19-1)/6=3
b=12-2*3=6
a=3+5=8
ответ: 863
№ 5:
при каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?
6-3b+4bx=4b+12x
4bx-12x=4b-6+3b
(4b-12)x=7b-6
x=(7b-6)/(4b-12)
(7b-6)/(4b-12)< 1
(7b-6-4b+12)/(4b-12)< 0
(3b+6)/(4b-12)< 0
(b+2)/(b-3)< 0
промежуток между корнями (-2; 3)
ответ: (-2; 3)
№ 6:
диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1: 2. периметр трапеции равен 90. найдите большую сторону трапеции.
меньшее основание х, большее основание 2х
если острый угол при основании 2а, то его половина, отсеченная биссектрисой а
сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2а)
теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами а и (180-2а), находим третий угол - а - треугольник равнобедренный
боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание
значит и боковые стороны трапеции равны х
записываем периметр
х+х+х+2х=90
5х=90
х=18
большая сторона 2х=36
ответ: 36
№ 7:
четырехугольник pqrs вписан в окружность. диагонали pr и qs перпендикулярны и пересекаются в точке m. известно, что ps=13, qm=10, qr=26. найти площадь четырехугольника pqrs.
углы prq и psq опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы pms и rmq равны
тогда треугольники pms и rmq подобны
k=qr/ps=2
отношение k=qm/pm=2
10/pm=2; pm=5
отношение k=rm/sm=2
находим rm по т. пифагора
rm=корень(qr^2-qm^2)=корень(26^2-10^2)=24
24/sm=2; sm=12
тогда полные диагонали:
qs=qm+sm=10+12=22
pr=pm+rm=5+24=29
площадь четырехугольника равна их диагоналей на синус угла между ними
s=(1/2)*22*29*sin90=319
ответ: 319
