ответ:
алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум
функция z = f(x,y) имеет максимум в точке m0(x0; y0), если f(x0; y0) > f(x; y) для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0; y0) и отличных от неё. функция z = f(x,y) имеет минимум в точке m0(x0; y0), если f(x0; y0) < f(x; y) для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0; y0) и отличных от неё. максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.
1. находят частные производные dz/dx и dz/dy.
2. решают систему уравнений:
и таким образом находят критические точки функции.
3. находят частные производные второго порядка:
4. вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках m(x0; y0).
5. делаю вывод о наличии экстремумов:
а) если ac – b2 > 0 и a < 0 , то в точке m имеется максимум;
б) если ac – b2 > 0 и a > 0 , то в точке m имеется минимум;
в) если ac – b2 < 0, то экстремума нет;
г) если ac – b2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;
пример №1. найти экстремумы функции f(x,y)=x3+xy2+x2+y2 и определить по критерию сильвестра их тип.
решение.
1. найдем первые частные производные.
2. решим систему уравнений.
3x2+2x+y2=0
2xy+2y=0
получим:
а) из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -1
y2+1=0
данная система уравнений не имеет решения.
б) из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
или
или
откуда x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0
данные значения x подставляем в выражение для y. получаем: y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0
количество критических точек равно 2: m1(-2/3; 0), m2(0; 0)
3. найдем частные производные второго порядка.
4. вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках m(x0; y0).
вычисляем значения для точки m1(-2/3; 0)
ac - b2 = -4/3 < 0, то экстремума нет.
вычисляем значения для точки m2(0; 0)
ac - b2 = 4 > 0 и a > 0 , то в точке m2(0; 0) имеется минимум z(0; 0) = 0
вывод: в точке m2(0; 0) имеется минимум z(0; 0) = 0
пример №2. исследовать функцию на экстремум классическим методом: z=8x2+2xy-5x+6.
пошаговое объяснение:
Пошаговое объяснение:Ми знаємо тепер, хто був той "людський хлопець", що зачарував своєю грою, а далі й закохав у себе дочку лісу, ніжну красуню Мавку. То — Лукаш, син селянки-вдови, небіж доброго і мудрого дядька Лева. У драмі не подано передісторії життя Лукаша, бо в цьому не було потреби. Початок його життя в творі збігається з першими кроками від дитинства до юності. Він з'являється біля лісового озера одного святкового дня на ранній провесні в супроводі свого дядька. Вся істота Лукаша, як і природа навкруги, переживала ту прекрасну пору цвітіння, коли серце переповнене мріями про щастя, а весь світ здається невимовно прекрасним. Хочеться жити і славити життя. І Лукаш славить його ніжним співом сопілки, яку він щойно вирізав і змайстрував у приозерних очеретяних зарослях.
Із самого початку поетеса підкреслює неабияку музичну обдарованість юнака. Як за народною легендою перелітні птахи приносять на крилах тепло, так Лукаш своїм співом пробуджує в природі буяння життя. На спів його сопілки "спочатку на вербі та вільхах замайоріли сережки, потім береза листом залепетала. На озері розкрились лілії білі і зазолотіли квітки на лататті. Дика рожа появляє ніжні пуп'янки".
Духовний світ Лукаша розкривається у його портреті. "Лукаш,— пише Леся Українка,— дуже молодий хлопець, гарний, чорнобривий і стрункий, в очах ще є щось дитяче; обраний так само в полотняну одежу, тільки з тоншого полотна; сорочка "на випуск" мережана біллю, з виложистим коміром, підперезана червоним поясом, коло коміра і на чохлах червоні застіжки; свити він не має; на голові бриль; на поясі ножик і ківшик з лика на мотузку".
3х=960
х=320