Question

Дано: |а|=4; |b|=1; угол между векторами а и b равен 60°. найдите cos a, a-угол между векторами а - b и b. нужно. заранее

Answer 1

Дано:  $|\vec {AB}| = |\vec b| = 1;~~|\vec {AD}| = |\vec a| = 4;~~\angle BAD=60^o$

Найти : cos α - ?

По правилу параллелограмма разностью векторов является диагональ параллелограмма  $\vec {BD} = \vec a - \vec b$

ΔABD : теорема косинусов

$|\vec a - \vec b|^2=|\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\cdot |\vec a|\cdot |\vec b|\cdot \cos60^o=\\ \\ ~~~~~~=4^2+1^2-2\cdot 4\cdot 1\cdot \dfrac12=13\\ \\|\vec a - \vec b|=\sqrt {13}$

ΔABD : теорема косинусов

$|\vec a|^2 = |\vec a-\vec b|^2 + |\vec b|^2 -2\cdot |\vec a-\vec b|\cdot |\vec b|\cos \angle ABD\\ \\ \\ \cos \angle ABD=\dfrac{|\vec a|^2 - |\vec a-\vec b|^2 - |\vec b|^2}{2\cdot |\vec a-\vec b|\cdot |\vec b|}=\\ \\ \\~~~~~~~~~~~~~~~=\dfrac{4^2-\sqrt{13}^2-1^2}{2\cdot\sqrt{13}\cdot 1}=\dfrac 1{\sqrt{13}}$

∠KBD  и  ∠ABD  - смежные  ⇒  ∠KBD = 180°-∠ABD

$\cos \angle KBD = \cos (180^o-\angle ABD)=-\cos \angle ABD=-\dfrac 1{\sqrt{13}}\\ \\ \\ \boxed{\boldsymbol{ \cos \alpha =-\dfrac 1{\sqrt {13}}}}$