На плоскости расположено 1000 точек. каждая точка соединена отрезком ровно с одной другой точкой. если - id263893520230315 от Midaw 15.03.2023 17:12

Question

Математика: На плоскости расположено 1000 точек. каждая точка соединена отрезком ровно с одной другой точкой. если какие-то два отрезка пересекаются, то их можно заменить двумя другими с концами в тех же точках (например, если ab и cd пересекаются, то можно заменить их на ac и bd или на ad и bc). всегда ли можно сделать так, чтобы после конечного числа таких операций не осталось пересекающихся отрезков?

Midaw · Accepted Answer

Вообще это ЛДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Вводом переменной z=y' приходим к уравнению x*z'-z-x^2=0 = z'-z/x-x=0 - ЛДУ 1-го порядка. Пусть z=u*v ->u'*v+u*v' -u*v/x-x=0, v(u'-u/x)+u*v'-x=0, u'-u/x=0, du/u=dx/x, ln(u)=ln(x), u=x, x*v'=x, v'=1,v=x+C1, z=x*(x+C1)=x^2+C1*x. Проверка: x*z'-z-x^2=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x-x^2=0, так что z найдено верно. Тогда y=x^3/3+C1*x^2/2. Проверка: y'=x^2+C1*x, y''=2*x+C1, x*y''-y'=2*x^2+C1*x-x^2-C1*x=x^2, так что у найдена верно.
ответ: y=x^3+C1*x^2/2+C2

MOGZ ответил