Чтобы найти экстремумы функции, мы сначала должны найти ее частные производные по переменным x и y, а затем приравнять их к нулю и решить систему уравнений.
Начнем с вычисления частных производных функции z по переменным x и y.
Частная производная функции z по x (обозначается как dz/dx) находится путем дифференцирования функции по x и рассматривания всех других переменных как константы. То же самое делаем с частной производной функции z по y (обозначается как dz/dy).
Давайте найдем эти производные:
dz/dx = 6 - 2x - y
dz/dy = -2y - x
Теперь приравняем оба уравнения к нулю и решим систему уравнений:
6 - 2x - y = 0 (1)
-2y - x = 0 (2)
Из уравнения (2) выразим x:
x = -2y (3)
Подставим это значение x в уравнение (1):
6 - 2(-2y) - y = 0
6 + 4y - y = 0
5y = -6
y = -6/5
Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в уравнение (3):
x = -2(-6/5) = 12/5
Итак, мы получили значения x = 12/5 и y = -6/5, которые являются координатами точки, в которой функция имеет экстремум.
Теперь вычислим вторые частные производные функции z по переменным x и y (чтобы убедиться, что найденная точка является точкой экстремума):
Давайте находим производные:
d^2z/dx^2 = -2
d^2z/dxdy = -1
d^2z/dy^2 = -2
Теперь подставим значения x = 12/5 и y = -6/5 в выражения для производных второго порядка:
d^2z/dx^2 = -2
d^2z/dxdy = -1
d^2z/dy^2 = -2
Мы видим, что вторая производная по x (d^2z/dx^2) отрицательна, а вторая производная по y (d^2z/dy^2) также отрицательна. Кроме того, производная d^2z/dxdy равна -1.
Это говорит нам о том, что точка (12/5, -6/5) является локальным максимумом функции.
Начнем с вычисления частных производных функции z по переменным x и y.
Частная производная функции z по x (обозначается как dz/dx) находится путем дифференцирования функции по x и рассматривания всех других переменных как константы. То же самое делаем с частной производной функции z по y (обозначается как dz/dy).
Давайте найдем эти производные:
dz/dx = 6 - 2x - y
dz/dy = -2y - x
Теперь приравняем оба уравнения к нулю и решим систему уравнений:
6 - 2x - y = 0 (1)
-2y - x = 0 (2)
Из уравнения (2) выразим x:
x = -2y (3)
Подставим это значение x в уравнение (1):
6 - 2(-2y) - y = 0
6 + 4y - y = 0
5y = -6
y = -6/5
Теперь найдем значение x, подставив найденное значение y в уравнение (3):
x = -2(-6/5) = 12/5
Итак, мы получили значения x = 12/5 и y = -6/5, которые являются координатами точки, в которой функция имеет экстремум.
Теперь вычислим вторые частные производные функции z по переменным x и y (чтобы убедиться, что найденная точка является точкой экстремума):
Давайте находим производные:
d^2z/dx^2 = -2
d^2z/dxdy = -1
d^2z/dy^2 = -2
Теперь подставим значения x = 12/5 и y = -6/5 в выражения для производных второго порядка:
d^2z/dx^2 = -2
d^2z/dxdy = -1
d^2z/dy^2 = -2
Мы видим, что вторая производная по x (d^2z/dx^2) отрицательна, а вторая производная по y (d^2z/dy^2) также отрицательна. Кроме того, производная d^2z/dxdy равна -1.
Это говорит нам о том, что точка (12/5, -6/5) является локальным максимумом функции.