Question

Найдите все стороны четырехугольника,в который можно вписать окружность.если 3 его угла острые и равны a,b,c.cторона прилежащая к углам a и b равна x.

Answer 1

Если вам нужно выразить каждую сторону через $A,B,C,x$ , пришел к такому.  
 Пусть у нас имеется четырехугольник $abcd$ . Соответственные углы равны $A,B,C$ , следовательно четвертый тупой угол $360-A-B-D$$90$  .  
 По теореме о биссектрисе четырехугольника ,  утверждает что биссектрисы каждого угла пересекаются в центре вписанной окружности. Обозначим его $O$. 
Пусть отрезки биссектрис равны из вершины $A,B,C,D$ соответственно  
 $Q,W,Y,G$.  Радиус вписанной окружности $r$ . 
 Так как радиус перпендикулярен касательной     ,  по теореме Пифагора выразим 
 каждый отрезок биссектрисы , используя то что углы будут равны $\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}; \ 180-\frac{A+B+C}{2}$ 
$\frac{r}{sin\frac{A}{2}}=Q\\\\ \frac{r}{sin\frac{B}{2}}=W\\\\ \frac{r}{sin\frac{C}{2}}=Y\\\\ \frac{r}{sin\frac{A+B+C}{2}}=G$
Пусть стороны равны $a,b,c,x$ 
 Так как в четырехугольник можно вписать окружность 
 $x+a=b+c$  
   По свойству, отрезки биссектрис в четырехугольнике 
 $\frac{Q}{Y}=\frac{bx}{ac}\\\\ \frac{G}{W}=\frac{ab}{cx}$
   Из условия выше получаем 
 $\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=a\\\\ \frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c=b\\\\$
 так как 
$x+a=b+c\\\\ x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=\frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c+c\\\\ c=\frac{x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x}{{sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}+1}}$
 его можно упростить , откуда можно выразить и остальные стороны