Теорема - свойство биссектрисы треугольника. Если AA1 - биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC, то ВА*/А*С= ВА/ АС. Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам. Доказательство. Проведем через B прямую, параллельную AC, и обозначим через D точку пересечения этой прямой с продолжением AA1 . Согласно свойству параллельных прямых имеем ÐBDA = ÐCAD. Так как AA1 - биссектриса, то ÐCAD = ÐDAB. Итак, ÐBDA =ÐDAB, потому BD = BA. Из подобия треугольников CAA1 и BDA1 (по второму признаку ÐBDA1 = ÐCAA1 , ÐBA1 D = ÐCA1A) получаем ВА*/А*С =ВD/АС =ВА/АС, что и требовалось доказать. Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через B прямую, параллельную биссектрисе AA1,до пересечения в точке E с продолжением CA . Тогда EA = AB и СА /АЕ =СА/АВ .
1) Тело состоит из двух параллелепипедов Размеры меньшего 3•2•3 Размеры большего 6•4•4
V = abc Vм. = 3•2•3 = 18 кубических единиц - объем меньшего параллелепипеда. Vб. = 6•4•5 = 120 кубических единиц - объем меньшего параллелепипеда. V = Vм. + Vб. V = 18 + 120 = 138 кубических единиц - объем тела.
2) Площадь поверхности тела равна сумме поверхностей его граней. S = 2 • (ab + bc + ac) Поскольку в верхнем меньшем параллелепипеде не учитывается одна нижняя грань, то Sм. = 2•(2•3 + 3•3) + 2•3 = = 2•(6 + 9) + 6 = 2•15 + 6 = 36 кв.единиц - площадь поверхности верхнего меньшего параллелепипеда без нижней грани.
В нижнем большом параллелепипеде учитывается только часть верхней грани. S части верхней грани большего параллелепипеда = S верхней грани большего параллелепипеда - Sнижней грани меньшего параллелепипеда Sчасти = 5•4 - 2•3 = = 20 - 6 = 14 кв.единиц - площадь части верхней грани большего параллелепипеда.
Sб. = 2•(5•6 + 4•6) + 4•5 = = 2•(30 + 24) + 20 = 2•54 • 20 = 128 кв.единиц - площадь поверхности нижнего большего параллелепипеда без верхней грани.
S = Sм. + Sб. + Sчасти S = 36 + 128 + 14 = 178 кв.единиц - площадь поверхности тела, состоящего из двух параллелепипедов.
Построение ясно из чертежа. АВ=СД=17см. Из равенства боковых сторон следует, что ∠ABE=∠CFD=90°. AD=44 см, АС=39 см. Проведем в трапеции высоты BE и CF, обозначив из длину через h. Эти высоты отсекут от основания AD отрезки AE и DF, длину которых мы обозначим через x. Рассматриваем два прямоугольных треугольника: ΔABE и ΔACF. Для каждого из них запишем теорему Пифагора. AB² = h² + x² → h² = AB² - x²; AC² = h² + (AD - x)² → h² = AC² - (AD - x)² Поскольку левые этих уравнений части равны, то равны и их правые части. AB² - x² = AC² - (AD - x)² 17² - x² = 33² - (44 - x)² Раскрывая скобки и приводя подобные члены получаем уравнение 88·х = 704 → х = 8 (см) Теперь находим BC = AD - 2·x = 44 - 2·8 = 28 (см) Осталось найти высоту h. Найдем ее из уравнения h² = AB² - x²; h² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225; h=√225 = 15 (см)
Если AA1 - биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC, то ВА*/А*С= ВА/ АС. Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим
ее сторонам.
Доказательство.
Проведем через B прямую, параллельную AC, и обозначим через D точку пересечения этой прямой с продолжением AA1 .
Согласно свойству параллельных прямых имеем ÐBDA = ÐCAD. Так как AA1 - биссектриса, то ÐCAD = ÐDAB. Итак, ÐBDA =ÐDAB, потому BD = BA. Из подобия треугольников CAA1 и BDA1 (по второму признаку
ÐBDA1 = ÐCAA1 , ÐBA1 D = ÐCA1A) получаем ВА*/А*С =ВD/АС =ВА/АС, что и требовалось доказать. Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через B прямую, параллельную биссектрисе AA1,до пересечения в точке E с продолжением CA . Тогда EA = AB и СА /АЕ =СА/АВ .