Если длину прямоугольника уменьшить на 4см,а ширину увеличить на 5см,то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40см2. найти площадь прямоугольника?
Для того чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся с понятием описанного и вписанного шаров.
Описанный шар окружает тело таким образом, что его центр совпадает с центром тела, а его радиус равен расстоянию от центра тела до любой его точки. В данном случае, мы хотим найти отношение радиуса описанного около тетраэдра шара к радиусу вписанного в этот тетраэдр шара.
Вписанный шар находится внутри тела и касается всех его граней. Его центр также совпадает с центром тела, а его радиус максимален.
Чтобы решить задачу, давайте вспомним некоторые свойства правильного тетраэдра.
1. Опишем правильный тетраэдр вписанным шаром и соединим центр этого шара с вершинами тетраэдра. Тогда получим равносторонний треугольник.
2. Также известно, что радиусы описанных окружностей равносторонних треугольников, сонаправленных с гранями тетраэдра, образуют геометрическую прогрессию с отношением sqrt(3). (это можно доказать с использованием подобия треугольников).
Пусть радиус вписанного шара равен r, а радиус описанного шара равен R.
Так как радиусы описанных окружностей равносторонних треугольников образуют геометрическую прогрессию с отношением sqrt(3), то можно записать следующую пропорцию:
r : R = 1 : sqrt(3)
Для того чтобы найти отношение радиуса описанного около правильного тетраэдра шара к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр, мы можем привести пропорцию к единичному радиусу вписанного шара, то есть поделить обе стороны на r:
(r : R) / r = (1 : sqrt(3)) / r
Теперь осталось разделить на r и упростить выражение:
1 : (R / r) = 1 / (r * sqrt(3))
Итак, отношение радиуса описанного около правильного тетраэдра шара к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр, равно 1 / (r * sqrt(3)).
Надеюсь, что я смог объяснить решение этой задачи понятным образом. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!
Для доказательства данного тождества, нам понадобится использовать различные тригонометрические формулы и идентичности.
Начнем с левой стороны тождества:
1 - 2sin^2(п/4 - а/2)
Заметим, что площадь треугольника с углом 45° и основанием на одном из углов равна половине площади квадрата, поэтому данное тождество может быть записано в следующем виде:
1 - 2sin^2(45° - а/2)
Для перевода данного выражения в более удобную форму, воспользуемся формулой синуса разности:
sin(а - b) = sin a * cos b - cos a * sin b
х+4-длина прямоугольника
х-5 -ширина прямоугольника
х²-(х+4)(х-5)=40
х²-(х²-5х+4х-20)=40
х²-х²+5х-4х+20=40
х+20=40
х=20
(20+4)(20-5)=24*15=360см²