Сначала определим, как выглядят все делители заданного числа. Для этого стоит разложить его на простые множители:
\begin{gathered} 8^{n+2} \cdot 12^{n-3} = ( 2^{3} )^{n+2} \cdot (3\cdot4)^{n-3} = 2^{3n+6} \cdot 3^{n-3} \cdot 4^{n-3} = 2^{3n+6} \cdot 3^{n-3} \cdot \\ \cdot 2^{2n-6} = 2^{3n+6 + 2n-6} \cdot 3^{n-3} = 2^{5n} \cdot 3^{n-3} \end{gathered}
8
n+2
⋅12
n−3
=(2
3
)
n+2
⋅(3⋅4)
n−3
=2
3n+6
⋅3
n−3
⋅4
n−3
=2
3n+6
⋅3
n−3
⋅
⋅2
2n−6
=2
3n+6+2n−6
⋅3
n−3
=2
5n
⋅3
n−3
Из этого разложения заключаем, что все делители имеют вид: 2^{p} \cdot 3^{q}2
p
⋅3
q
, где 0 \leq p \leq 5n0≤p≤5n , 0 \leq q \leq n-30≤q≤n−3
По условию это число имеет 42 натуральных делителя.
1)Пусть сначала q = 0q=0 , то есть, каждый из 42 делителей есть степень двойки. Очевидно, что эти делители располагаются лишь в порядке возрастания степеней двойки "без пропусков"(иначе получится число, имеющее более 42 делителей), поэтому 0 \leq p \leq 410≤p≤41 (между 0 и 41 располагается ровно 42 натуральных числа). А чтобы всех таких делителей вида 2^{0 \leq p \leq 41}2
0≤p≤41
было ровно столько, необходимо, чтобы
5n = 415n=41
Если 5n \ \textless \ 415n \textless 41 ,то таких делителей меньше 42, если 5n \ \textgreater \ 415n \textgreater 41 , то больше.
Итак, 5n = 415n=41 , откуда n = \frac{41}{5}n=
5
41
- не натуральное число. Поэтому делаем вывод: среди делителей данного числа не могут содержаться только лишь степени двойки.
2)Повторим рассуждения для степеней тройки.
Пусть p = 0p=0 для всех делителей. Тогда они имеют вид 3^{q}3
q
В силу рассуждений предыдущего пункта,n - 3 = 41n−3=41 , откуда
n = 41 + 3 = 44n=41+3=44 - натуральное число. Этот случай вполне нас может устраивать, но здесь обязательна проверка - подстановка n в запись числа и прикидка количества делителей. Подставляя, имеем число:
2^{5 \cdot 44} \cdot 3^{44-3} = 2^{220} \cdot 3^{41}2
5⋅44
⋅3
44−3
=2
220
⋅3
41
Но мы видим, что число имеет 220 делителей, только лишь являющихся степенями двойки, не говоря про остальные делители(то есть, их не 42 явно). Поэтому n = 44n=44 условию задачи не удовлетворяет.
3)Пусть теперь имеем среди делителей и делители "смешанной" породы.
Как найти нам теперь n?
Пусть у нас есть какое-либо число вида 2^{5n} \cdot 3^{n-3}2
5n
⋅3
n−3
. Какова структура делителей данного числа? Их три вида:
а)Вида 2^{p}2
p
. Очевидно, что p_{max} = 5np
max
=5n , а потому всего их 5n+15n+1 ;
б)Вида 3^{q}3
q
. Ясно, что q_{max} = n-3q
max
=n−3 , а всего их n-3+1 = n-2
Плюс ко всему замечаем, что два раза получается в делителе 1. Так что один лишний делитель я выбрасываю.
О чём это всё говорит? О том, что "чистых" делителей в точности
5n+1 + n-2 - 1 = 6n - 25n+1+n−2−1=6n−2 (убираем 1 отсюда)
в)Смешанные делители вида 2^{p} \cdot 3^{q}2
p
⋅3
q
. Сколько их? Здесь уже практически чистая комбинаторика. Подсчитываем общее допустимое число делителей.
На каждую из \{0, 1, ..., 5n\}{0,1,...,5n} степеней числа 2(всего их 5n+15n+1 , но 0 не включается, а потому только 5n) можно поставить одну из \{0, 1, .., n-3\}{0,1,..,n−3} степеней числа 3(всего их n-3+1 = n-2n−3+1=n−2 , но 0 не включаем, а потому n-3). Соответственно, получаем 5n(n-3)5n(n−3) их комбинаций.
Всего делителей 42, так что
\begin{gathered}6n-2 + 5n(n-3) = 42 \\ 5 n^{2} -9n -44 = 0 \\ D = 9^{2} + 4 * 5 * 44 = 961 \\ n_{1} = \frac{9 - 31}{10} \end{gathered}
6n−2+5n(n−3)=42
5n
2
−9n−44=0
D=9
2
+4∗5∗44=961
n
1
=
10
9−31
- не натуральное и даже не целое число.
n_{2} = \frac{9 + 31}{10} = 4n
2
=
10
9+31
=4
Таким образом, n = 4n=4 . Произведём проверку:
2^{5\cdot4} \cdot 3^{4-3} = 2^{20} \cdot 3^{1} = 3\cdot 2^{20}2
5⋅4
⋅3
4−3
=2
20
⋅3
1
=3⋅2
20
- действительно, число имеет 42 натуральных делителя(40 - отличных от 1 и самого числа, и 2 особых делителя - само число и 1).
Пошаговое объяснение:
Предположим, что утверждение задачи не верно. Обозначим сумму цифр числа n через S(n). Среди любых 39 последовательных натуральных чисел обязательно найдётся не менее трёх делящихся на 10; пусть a минимальное из них. При этом получаем, что среди данных 39 чисел также есть и a + 1,..., a + 29. Поскольку a делится на 10, то S(a + 1) = S(a) + 1, S(a + 2) = S(a) + 2,..., S(a + 9) = S(a) + 9. Поэтому среди чисел a, a + 1,..., a + 9 не встречается число, сумма цифр которого делится на 11, только если S(a) $ \equiv$ 1 mod 11. При этом если a + 10 не делится на 100, то S(a + 10) = S(a) + 1, а значит, среди чисел a + 10, a + 11,..., a + 19 найдётся такое, что сумма его цифр делится на 11. Получили противоречие. Осталось рассмотреть случай, когда a + 10 делится на 100. Но тогда заметим, что S(a + 20) = S(a + 10) + 1, а значит, аналогично первому случаю среди чисел a + 10, a + 11,..., a + 29 найдётся число, сумма цифр которого делится на 11. Опять получили противоречие, значит, утверждение задачи верно.
вроде это)