Вершини піраміди знаходяться у точках:
A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4).
Обчислити: а) Довжину ребра АВ;
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (-4-7; -5-5; 3-8) = (-11; -10; -5).
Длина ребра АВ = √((-11)² + (-10)² + (-5)²) = √(121+100+25) =√246.
б) Кут між ребрами АВ і АС;
Вектор АВ = (-11; -10; -5), его модуль равен √246.
Вектор АС={xС-xA, yС-yA, zС-zA} = (2-7; -3-5; 5-8) = (-5; -8; -3).
Длина ребра АC = √((-5)² + (-8)² + (-3)²) = √(25+64+9) =√98.
cos(AB_AC) = (-11*-5+-10*-8+-5*-3)/(√246*√98) = 150/155,2675111= =0,966074609
Угол равен 0,261224 радиан или 14,96703 градуса.
в) площу грані АВС;
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
АВ =(-11; -10; -5), АС = (-5; -8; -3). АВхАС =
= i j k| i j
-11 -10 -5| -11 -10
-5 -8 -3| -5 -8 = 30i + 25j + 88k - 33j - 40i - 50k =
= -10i - 8j + 38k.
Модуль равен √((-10)² + (-8)² +38²) = √1608 ≈ 40,0999.
Площадь S = (1/2)*√1608 ≈ 20,0499.
d) об'єм піраміди АБСД.
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
АВ хАС = (-10; - 8; 38),
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-2; -4; -12),
|AD) = √164 ≈ 12,80625.
ABxAC = -10 -8 38
АD = -2 -4 -12
(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(20 + 32 - 456)| = 404/6 ≈ 67,3333.
/х/=0,25
х=0,25 и -0,25