Question

Даны две различные прогрессии, первые члены которых равны 1. известно,что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых равна 161. найти сумму шестых членов прогрессий.

Answer 1

Пусть первый член геометрической прогрессий равен $b_{1}$, а первый второй $a_{1}$. 
 Тогда $b_{1}=a_{1}=1$ 
 $b_{2}+a_{2}=3\\ b_{5}+a_{5}=161\\\\ b_{2}=b_{1}q\\ a_{2}=a_{1}d\\\\ q+d=3\\ q^4+d^4=161\\$ 
 найти надо $q^5+d^5$         
 $q^4+d^4=(q^2+d^2)^2-2q^2d^2=((q+d)^2-2qd)^2-2q^2d^2=161\\\\ (9-2qd)^2-2q^2d^2=161\\\\ qd=x\\\\ (9-2x)^2-2x^2=161\\\\ 81-36x+2x^2=161\\\\ 2x^2-36x-80=0\\\\ x^2-18x-40=0\\\\ x=20\\\\ x=-2\\\\ (q+d)(q^4+d^4)=q^5+d^5+qd(q^3+d^3)=\\\\ q^5+d^5=161*3-(-2)*3(9-3*(-2))=573$   
 ответ $573$