Question

Составьте уравнение плоскости проходящей через точку f(-2; 4; 7) и перпендикулярной вектору p(2; 3; 1) составьте уравнение прямой, проходящей через точку n (-2; 4; 7) и параллельной вектору p(2; 1; 1)

Answer 1

Поставим перед собой следующую задачу.Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.Сначала вспомним один важный факт.На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10-11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.В условии задачи нам даны координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной к плоскости . Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости  сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a.В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными зависящими от задания прямой a в условии задачи. Например, если прямую a в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида  или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , то направляющий вектор этой прямой имеет координатыax, ay и az; если же прямая a проходит через две точки  и , то координаты ее направляющего вектора определяются как .Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку  перпендикулярно к заданной прямой a:находим координаты направляющего вектора прямой a ();принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора  плоскости  (, где );записываем уравнение плоскости, проходящей через точку  и имеющей нормальный вектор , в виде  - это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.Из найденного общего уравнения плоскости вида  можно, при необходимости, получить уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.