Question

Найти значение выражения 1⋅4+2⋅7+3⋅10+…+100⋅301.

Answer 1

 Запишем  
$1*4+2*7+3*10+...+100*301=\\\\ 4+2(4+3)+3(4+6)+4(4+9)+5(4+12)....+100(4+207)$
Получим 
 $(4+2*4+3*4+4*4+5*4....100*4)$ сумма арифметической прогрессий и 
      $2*3+3*6+4*9+5*12+6*15....69*207=\\ 2*3+6*3+12*3+20*3+30*3...99*3$ 
заменим для удобства 
$x=3\\ 2x+6x+12x+20x+30x+42x....+9900x$ 
это сумма вычисляется по формуле , ее можно доказать или вывести
 $\frac{n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{100*99*101}{3}-2\\ 3( \frac{100*99*101}{3}-2)=100*99*101-6\\\\ 4+2*4+3*4+4*4...= \frac{101*100}{2}*4=20200\\\\ S=3*(333298+2)+20200=1020100$

Answer 2

S-(1+2+3...+100)=S-100*101/2=S-5050=1*3+2*6+3*9+100*300
(S-5050)/3=1^2+2^2+3^2+100^2  тут  можно применить  формулу Архимеда
1^2+n^2=n(n+1)(2n+1)/6  n=100   (S-5050)/3=101*201*100/6=338350
(S-5050)=338350*3=1015050  S=1015050+5050=1020100.При  необходимости  могу написать  вывод формулы Архимеда,она выводится  через разность кубов