Question

Применение интегралов. вычисление площадей фигур. 1.y=2+x -x^2 ; y=2-x 2. y=cos2x ; y=0 ; -п/4

Answer 1

1) $2+x- x^{2} =2-x$
$x^{2}+2-x-2-x=0$
$x^{2}-2x=0, x=0, x=2$ - точки пересечения графиков
$S= \int\limits^2_0 {(2+x- x^{2} -2+x)} \, dx=\int\limits^2_0 {(2x- x^{2})} \, dx= \frac{2 x^{2} }{2} - \frac{x^{3}}{3} |^{2}_{0}$ = $x^{2} - \frac{x^{3}}{3} |^{2}_{0} =4- \frac{8}{3} -0= \frac{12-8}{3}= \frac{4}{3}$

2) $S= \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} {cos2x} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /4}_{- \pi /4} {cos2x} \, d(2x)= \frac{sin2x}{2} |^{ \pi /4}_{- \pi /4}$ = $\frac{sin(2* \pi /4)}{2}- \frac{sin(-2* \pi /4)}{2} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} =1$

3) Найдем точки пересечения графиков:
$\frac{5}{x}=6-x$
$6x- x^{2} -5=0, x^{2} -6x+5=0$
$D=36-4*5=16$
$x_{1} = \frac{6-4}{2}=1$
$x_{2} = \frac{6+4}{2}=5$
$S= \int\limits^5_1 {(6-x- \frac{5}{x}) } \, dx =6x- \frac{x^{2}}{2} -5ln|x| |^{5}_{1}$ = $6*5- \frac{25}{2} -5ln5-6*1+ \frac{1}{2} +5ln1=30- \frac{25}{2}-5ln5-6+ \frac{1}{2}+0$ = $24-12-5ln5=12-5ln5$

4) $x=2- x^{2}$
$x^{2}+x-2=0, D=1+8=9$
$x_{1}= \frac{-1-3}{2}=-2$
$x_{2}= \frac{-1+3}{2}=1$
$S= \int\limits^1_{-2} {(2- x^{2} -x)} \, dx =2x- \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} |^{1}_{-2}$ = $2- \frac{1}{3} - \frac{1}{2} -(-4+ \frac{8}{3} - 2)=2- \frac{1}{3} - \frac{1}{2}+4-\frac{8}{3}+2$ = $8-3-0.5=4.5$