Question

Исследуйте функцию и постройте её график у=х^3-3х^2-4

Answer 1

Исследуйте функцию и постройте её график
$y=x^3-3x^2-4$

1) Функция определена на всей числовой оси, то есть $D(y):\, x\in (-\infty ;+\infty )$

2) Точки пересечения графика функции с осями OY
$y (0) = 0^3-3*0^2-4 = -4$

3) Исследуем функции на четность
$y(-x) = (-x)^3-3(-x)^2-4 = - x^3-3x^2-4$

Ни одно из условий $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$ или $f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$ не выполняется, то функция не является ни четной, ни нечетной (или функцией общего вида)

4) Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты $y=k\cdot x+b$ , где 

$\[k=\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{f\left(x\right)}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \pm \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} -4 }{x} = x^{2} -3x - \frac{4}{x} = + \infty \]$
Наклонных асимптот тоже нет.

5) Найдем экстремум функции
$y' = (x^3-3x^2-4) ' = 3 x^{2} -6x$

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
$3 x^{2} -6x= 0 \\ \\ x(3 x -6) = 0 \Rightarrow x = 0 \ ; \ x=2$

Эти точки разбивают область определения на три интервала. Находим знак производной  $y'$ в каждом из интервалов 

х     x<0      0           0<x<2       2             x>2
y'     +         0               -            0              +   
y     воз.   (-4) max    убыв.   (-8) min      воз.

Точка $M\left(0;\; -4\right)$ — точка максимума, точка $\left(2;\; -8\right)$ — точка минимума.

6)  Используя полученные данные, строим график функции.