Question

Определенный интеграл, верхний предел п/4, нижний 0. x*cos(2x)dx. распишите, , подробно решение

Answer 1

Применяем метод интегрирования по частям.
Обозначим u=x, dv= cos 2x dx
тогда du=dx.    $v=\int\limits {cos 2x} \, dx= \int\limits {cos2x} \, \frac{d(2x)}{2} = \frac{1}{2} [sin 2x] \\ \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 {xcos 2x} \, dx =x \frac{1}{2}sin2x| _{0} ^{ \frac{ \pi }{4} } - \int\limits^ \frac{ \pi }{4} _0 { \frac{1}{2} sin2x} \, \frac{d(2x)}{2} = \frac{ \pi }{8} sin \frac{ \pi }{2} + \frac{1}{4} cos2x| _{0} ^{ \frac{ \pi }{4} } = \\ \frac{ \pi }{8} + \frac{1}{4}cos \frac{ \pi }{2} - \frac{1}{4} cos0= \frac{ \pi }{8} - \frac{1}{4}$