Question

Решите тригонометрическое уравнение: cos2x+5sinx+2=0

Answer 1

$cos2x+5sinx+2=0 \\ 1-2sin^2x+5sinx+2=0 \\ -2sin^2x+5sinx+3=0|*(-1) \\ 2sin^2x-5sinx-3=0$

Пусть sin x = t (|t|≤1), тогда имеем

$2t^2-5t-3=0 \\ D=b^2-4ac=(-5)^2-4*2*(-3)=25+24=49 \\ \sqrt{D} =7 \\ t_1= \frac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \frac{5+7}{4} =3 \\ t_2= \frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{5-7}{4} = -\frac{1}{2}$

t₁=3 - не удовлетворяет условию при |t|≤1

Обратная замена

$sinx=- \frac{1}{2} \\ x=(-1)^k*arcsin(- \frac{1}{2} )+ \pi k \\ x=(-1)^k^+^1* \frac{ \pi }{6} + \pi k$

Answer 2

Cos²x-sin²x+5*sinx+2=0
1-sin²x-sin²x+5*sinx+2=0
-2*sin²x+5*sinx+3=0
sinx=a
-2*a²+5a+3=0
D=25-4*(-2)*3=25+24=49=7²
a1=-5-7\(-2)*2=-12\-4=3 (не корень)
a2=-5+7\(-2)*2=2\(-4)=-1\2=-0,5
тогда
а)sinx=a
a=3
sinx=3 ( синус лежит в пределах (-1,1))
б)sinx=a
a=-0,5
sinx=-0,5
х = (-1)^(k+1) * П/6  +  Пк