Question

Среди натуральных чисел от 1 до 99 выбрали 50 цифр. известно, что никакие два из них не в сумме ни 99, ни 100. докажите, что выбранные числа-это все числа от 50 до 99

Answer 1

Предположим  что из   выборки от 1 до  49  можно   мы  взяли k чисел,тогда  из  выборки  от  50  до  99,нужно   выбрать  50-k чисел. Но тк у каждой  из выбранных чисел есть 2 пары во 2 группе   дающие в сумме  99 и 100 ,но  с нюаносом  что  1  число  быть как  за 2 пары (давая с одним  числом  99  с другим 100) Но  у числа 99  таких всегда  меньше,поэтому в любом  случае придется исключить из  списка  возможных  хотя  бы  (k+1)  чисел  ,иначе  при их  выборе в сумме будет 100 или 99.Таким  образом  для отбора  из второй группы  останется  не более   чем 50-(k+1) <50-k,таким   образом нам не получится  отобрать  из 2 выборки 50-k чисел,а тогда  мы пришли к противочию,значит из  выборки от 1 до  49 нельзя выбирать  ни одного  числа.Таким  образом  нам придется выбрать  все числа  из 2 выборки 50 99