Question

Если u=x^2*sqrt(y^3+z^4), то значение ее производной du/df в точке a(1,1,1) по направлению к точке b(2,1,2) равно

Answer 1

Находим частные производные функции:
$u` _{x} =2x \sqrt{y ^{3}+z ^{4} } \\ u _{y} `= x^{2} \frac{3y ^{2} }{2 \sqrt{y ^{3} +z ^{4} } } \\ u` _{z} = x^{2} \frac{4z ^{3} }{2 \sqrt{y ^{3}+z ^{4} } }$
Вычислим значения производных в точке А (1;1;1)$u`_{x} (A)= 2 \sqrt{2} \\ u` _{y} (A) = \frac{3}{2 \sqrt{2} } \\ u` _{z} (A)= \frac{4}{ 2\sqrt{2} }$

Найдем координаты вектора АВ (1;0;1) и направляющие косинусы.
$cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ cos \beta =0 \\ cos\gamma= \frac{1}{ \sqrt{2} }$

$u` _{AB}(A) =u` _{x} (A)cos \alpha +u` _{y} (A)cos \beta +u` _{z} (A)cos\gamma= \\ 2 \sqrt{2 \ } \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{3}{2 \sqrt{2} }0+ \frac{4}{2 \sqrt{2} } \frac{1}{ \sqrt{2} } =2+1=3$