Question

Решите, интеграл (cos2x / (cos^2x * sin^2x))dx интеграл 3^x / (√(9-9^x))dx интеграл ln(1+x^2)dx заранее !

Answer 1

1)$\int\limits { \frac{cos2x}{cos ^{2}xsin ^{2}x } } \, dx = \int\limits { \frac{cos ^{2}x-sin ^{2}x }{cos ^{2}xsin ^{2} x } } \, dx = \int\limits { \frac{1}{sin ^{2} x} }- \frac{1}{cos ^{2}x } \, dx = \\ -ctgx-tgx+C$
2)$\int\limits{ \frac{3 ^{x} }{ \sqrt{9-9 ^{x} } } } \, dx = \frac{1}{ln3} \int\limits { \frac{d(3 ^{x}) }{ \sqrt{3 ^{2} }-(3 ^{x}) ^{2} } } \, = \frac{1}{ln3} arcsin \frac{3 ^{x} }{3} +C$
3)Применяем метод интегрирования по частям: обозначим
$u=ln(1+ x^{2} ),dv=dx|| du= \frac{2x}{1+ x^{2} } ,v=x$
тогда
$\int\limits {ln(1+ x^{2} }) \, dx =xln(1+ x^{2} )-2 \int\limits { \frac{ x^{2} }{1+ x^{2} } } \, dx = \\ =xln(1+ x^{2} )-2 \int\limits { \frac{ x^{2} +1-1}{1+ x^{2} } } \, dx =xln(1+ x^{2} )-2x+2arctgx+C$

Answer 2

Решение в приложении)