Question

Доведіть що p просте чісло,більше від 3, то число (р-1)(р+1) ділиться на 3, 8, 24

Answer 1

Скористаємся тим фактом, шо будь-яке просте число більше 3 можна записати у вигляді 6k-1 або 6k+1 де k - деяке натуральне число

у випадку$p=6k-1$ Маємо
$(p-1)(p+1)=(6k-1-1)(6k-1+1)=\\\\(6k-2)*6k=12*k(3k-1)$
числа k і 3k - однакової парності, а числа k і 3k-1 різної тому одне з чисел або k або 3k-1 буде парним, тобто ділитиметься на 2
а значить $12*k(3k-1)$ буде кратним 12*2=24 що й треба було довести

у випадку $p=6k+1$ Маємо
$(p-1)(p+1)=(6k+1-1)(6k+1+1)=\\\\(6k+2)*6k=12*k(3k+1)$
числа k і 3k - однакової парності, а числа k і 3k+1 різної тому одне з чисел або k або 3k+1 буде парним, тобто ділитиметься на 2
а значить $12*k(3k+1)$ буде кратним 12*2=24 що й треба було довести

Доведено